Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{k \cdot 3^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência (ou não) da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{k \cdot 3^{k}}.
Informações dadas e o que precisamos analisar:
a_k=\frac{2^{k}}{k\cdot 3^{k}}\quad\text{para}\quad k=1,2,3,\dots
Precisamos decidir se a série converge ou diverge e, se quiser, ver que tipo de convergência (condicional ou absoluta). Neste passo apenas listei o que é pedido e as informações do enunciado.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral de forma mais clara:
a_k=\frac{2^{k}}{k\cdot 3^{k}}=\frac{1}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{\!k}.
Isso já sugere que os termos têm um fator geométrico \left(\frac{2}{3}\right)^{k} multiplicado por 1/k.

Passo 3

Vou explicar um conceito importante que vamos usar: definição de convergência absoluta.
A série \sum a_k converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos \sum |a_k| converge. Uma consequência útil é:
se \sum |a_k| converge então \sum a_k também converge (dizemos que converge absolutamente, que é mais forte que convergência simples).

Passo 4

Aplicando a ideia anterior ao nosso caso:
primeiro note que para todo k\ge 1 vale 0<\dfrac{1}{k}\le 1. Portanto
|a_k|=\frac{1}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{\!k}\le \left(\frac{2}{3}\right)^{\!k}.
Agora use o teste da comparação: a série geométrica
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{\!k}
converge porque a razão \left|\dfrac{2}{3}\right|<1. Como 0\le |a_k|\le \left(\dfrac{2}{3}\right)^{k} e a série de cima converge, pela comparação a série \sum_{k=1}^{\infty}|a_k| também converge. Logo a série original converge absolutamente, e portanto converge.

Passo 5

(Se quiser saber o valor da soma:)
existe uma identidade clássica para |x|<1:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k}=-\ln(1-x).
Uma maneira rápida de ver isso é começar da soma geométrica \sum_{k=0}^{\infty}x^{k}=\dfrac{1}{1-x} para |x|<1, integrar termo a termo e ajustar índices. Aplicando com x=\dfrac{2}{3} obtemos
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{\!k}=-\ln\!\left(1-\frac{2}{3}\right)=-\ln\!\left(\frac{1}{3}\right)=\ln 3.
Portanto, além de convergir, a soma da série é \ln 3.

Resposta

Converge absolutamente; soma =\ln 3

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