Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{k \cdot 3^{k}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{k\cdot 3^{k}+1}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é positivo para todo k\ge1. Não há pedido de soma numérica, apenas verificação da convergência.

Passo 2

Observação básica sobre o termo geral. Como k\ge1, temos k\cdot 3^{k}+1 \ge k\cdot 3^{k}. Assim podemos comparar o termo dado com um termo mais simples:
0 \le \frac{2^{k}}{k\cdot 3^{k}+1} \le \frac{2^{k}}{k\cdot 3^{k}}.
Aqui usei a desigualdade do denominador para inverter (dividir por algo maior dá um quociente menor), e todas as quantidades são positivas.

Passo 3

Simplifico o lado direito da desigualdade:
\frac{2^{k}}{k\cdot 3^{k}}=\frac{1}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Além disso, para todo k\ge1 vale 1/k\le 1. Portanto
\frac{1}{k}\left(\frac{2}{3}\right)^{k} \le \left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Combinando com a desigualdade do passo anterior obtemos
0 \le \frac{2^{k}}{k\cdot 3^{k}+1} \le \left(\frac{2}{3}\right)^{k}.

Passo 4

Aplico o teste da comparação direta. A série geométrica
\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{k}
é convergente porque é geométrica com razão r=\frac{2}{3} e |r|<1. Pelo teste da comparação (se 0\le a_k\le b_k a partir de algum k e \sum b_k converge então \sum a_k converge), concluímos que
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{k\cdot 3^{k}+1}
converge. Como os termos são positivos, essa convergência é também absoluta (não havia sinais alternados anyway).

Passo 5

Para reforçar a intuição: posso também usar o teste da razão (opcional). Seja a_k=\dfrac{2^{k}}{k\cdot 3^{k}+1}. Então
\frac{a_{k+1}}{a_k} =2\cdot\frac{k\cdot 3^{k}+1}{(k+1)\cdot 3^{k+1}+1} =2\cdot\frac{k+\,3^{-k}}{3(k+1)+3^{-(k+1)}}.
Tomando limite quando k\to\infty obtemos
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{2}{3}<1,
logo pelo critério da razão a série também converge. Isso confirma o resultado do método de comparação.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados