Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é positivo para todo
. Não há pedido de soma numérica, apenas verificação da convergência.
Passo 2
Observação básica sobre o termo geral. Como
, temos
. Assim podemos comparar o termo dado com um termo mais simples:
Aqui usei a desigualdade do denominador para inverter (dividir por algo maior dá um quociente menor), e todas as quantidades são positivas.
Passo 3
Simplifico o lado direito da desigualdade:
Além disso, para todo
vale
. Portanto
Combinando com a desigualdade do passo anterior obtemos
Passo 4
Aplico o teste da comparação direta. A série geométrica
é convergente porque é geométrica com razão
e
. Pelo teste da comparação (se
a partir de algum
e
converge então
converge), concluímos que
converge. Como os termos são positivos, essa convergência é também absoluta (não havia sinais alternados anyway).
Passo 5
Para reforçar a intuição: posso também usar o teste da razão (opcional). Seja
. Então
Tomando limite quando
obtemos
logo pelo critério da razão a série também converge. Isso confirma o resultado do método de comparação.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).