Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{5^{k}}{k \cdot k!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência (ou não) da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{5^{k}}{k\cdot k!}.
Informações dadas e observações imediatas que vamos usar depois:
  • O termo geral da série é a_{k}=\dfrac{5^{k}}{k\cdot k!} para k\ge 1.
  • Todos os termos são positivos (isto é, a_k>0 para todo k).
  • A série é de termos positivos, então convergência absoluta e convergência simples coincidem aqui (se a série de valores absolutos converge, a série original converge).

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê. Como temos fatoriais k! e potências 5^{k}, um teste natural e eficiente é o teste da razão (teste de d’Alembert): ele lida bem com k! porque o fatorial simplifica quando comparamos a_{k+1} com a_k. Também é possível usar comparação com a série exponencial \sum 5^{k}/k!, que conhecemos converge (soma igual a e^{5}), mas vamos primeiro aplicar o teste da razão, que dá uma conclusão direta e simples.

Passo 3

Enunciado do teste da razão (explicado): seja uma série de termos a_k (com a_k\neq 0). Definimos
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
  • Se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui cada símbolo significa: a_k é o k-ésimo termo; |\cdot| é valor absoluto (aqui termos já são positivos, então podemos omitir); L é o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 4

Aplicando o teste da razão: calculemos \dfrac{a_{k+1}}{a_k} passo a passo.
Começamos com
a_k=\frac{5^k}{k\cdot k!},\qquad a_{k+1}=\frac{5^{k+1}}{(k+1)\cdot (k+1)!}.
Então
\frac{a_{k+1}}{a_k} =\frac{\dfrac{5^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}}{\dfrac{5^{k}}{k\cdot k!}} =5\cdot\frac{k\cdot k!}{(k+1)\cdot (k+1)!}.
Agora use a relação (k+1)!=(k+1)\cdot k!, então \dfrac{k!}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k+1}. Assim
\frac{a_{k+1}}{a_k} =5\cdot\frac{k}{k+1}\cdot\frac{1}{k+1} =\frac{5k}{(k+1)^2}.

Passo 5

Calculemos o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{5k}{(k+1)^2}.
Para ver esse limite de forma clara, reescrevemos
\frac{5k}{(k+1)^2} =\frac{5}{\;k\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^2\;} .
Como \dfrac{1}{k}\to 0 quando k\to\infty, temos k\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^2\to\infty. Portanto
L=0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente.

Passo 6

Interpretação e reforço didático: dizer que a série converge absolutamente significa que a série dos valores absolutos \sum |a_k| converge; aqui a_k>0 então é a própria série. Intuitivamente, o fatorial k! cresce muito mais rápido que a potência 5^k, então os termos a_k tendem a zero muito rápido — o teste da razão quantificou isso (razão entre termos vai a zero). Uma alternativa simples (segunda via de verificação) é comparar termo a termo com a série exponencial:
\frac{5^{k}}{k\cdot k!}\le \frac{5^{k}}{k!}\quad\text{(porque \(k\ge 1\) implica \(\tfrac{1}{k}\le 1\))},
e sabemos que
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{5^{k}}{k!}=e^{5}<\infty,
logo por comparação a série original também converge. Ambas as razões (teste da razão e comparação) chegam à mesma conclusão.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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