Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries: \sum_{k=1}^{\infty} \frac{5^{k}}{k \cdot k!}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência (ou não) da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{5^{k}}{k\cdot k!}.
Informações dadas e observações imediatas que vamos usar depois:
O termo geral da série é a_{k}=\dfrac{5^{k}}{k\cdot k!} para k\ge 1.
Todos os termos são positivos (isto é, a_k>0 para todo k).
A série é de termos positivos, então convergência absoluta e convergência simples coincidem aqui (se a série de valores absolutos converge, a série original converge).
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê. Como temos fatoriais k! e potências 5^{k}, um teste natural e eficiente é o teste da razão (teste de d’Alembert): ele lida bem com k! porque o fatorial simplifica quando comparamos a_{k+1} com a_k. Também é possível usar comparação com a série exponencial \sum 5^{k}/k!, que conhecemos converge (soma igual a e^{5}), mas vamos primeiro aplicar o teste da razão, que dá uma conclusão direta e simples.
Passo 3
Enunciado do teste da razão (explicado): seja uma série de termos a_k (com a_k\neq 0). Definimos
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui cada símbolo significa: a_k é o k-ésimo termo; |\cdot| é valor absoluto (aqui termos já são positivos, então podemos omitir); L é o limite da razão entre termos consecutivos.
Passo 4
Aplicando o teste da razão: calculemos \dfrac{a_{k+1}}{a_k} passo a passo.
Começamos com
Como \dfrac{1}{k}\to 0 quando k\to\infty, temos k\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^2\to\infty. Portanto
L=0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente.
Passo 6
Interpretação e reforço didático: dizer que a série converge absolutamente significa que a série dos valores absolutos \sum |a_k| converge; aqui a_k>0 então é a própria série. Intuitivamente, o fatorial k! cresce muito mais rápido que a potência 5^k, então os termos a_k tendem a zero muito rápido — o teste da razão quantificou isso (razão entre termos vai a zero). Uma alternativa simples (segunda via de verificação) é comparar termo a termo com a série exponencial: