Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
Passo 1
Enunciado: verificar a convergência (ou divergência) da série
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Os termos são positivos para todo
(pois ).
Pergunta explícita: a série converge ou diverge?
Passo 2
Apresento um teste muito útil e simples para séries cujos termos são elevados à potência
: o teste da raiz (Cauchy). Enunciado do teste da raiz (de forma prática):
- se
a série converge absolutamente (portanto converge); - se
a série diverge; - se
o teste não decide.
Explicação curta e intuitiva:mede a “taxa de crescimento” multiplicativa do termo; se essa taxa fica menor que a potência decai geometricamente e a soma converge, se for maior que explode, e se for exatamente é caso limite.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz ao nosso termo
, calculamos a
-ésima raiz:
Agora calculamos o limite quando
. Note que
Tomando limite em
:
Portanto o valor do teste da raiz é
.
Passo 4
Interpretação do resultado do Passo 3: temos
. Pelo teste da raiz concluímos que a série
converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 5
Para fixar a intuição e dar uma prova alternativa mais elementar, faço uma comparação com uma série geométrica: para todo
temos
, então
Como a função
é crescente em
, obtemos
A série geométrica
converge porque sua razão
satisfaz
. Pelo teste da comparação (termos positivos), a nossa série também converge. Isso confirma o resultado do teste da raiz.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).