Verifique a convergência (ou não) das seguíntes séries:
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k+1}{5 k}\right)^{k}

Passo 1

Enunciado: verificar a convergência (ou divergência) da série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k+1}{5 k}\right)^{k}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_{k}=\left(\frac{k+1}{5k}\right)^{k}.
  • Os termos são positivos para todo k\ge 1 (pois \frac{k+1}{5k}>0).
    Pergunta explícita: a série converge ou diverge?

Passo 2

Apresento um teste muito útil e simples para séries cujos termos são elevados à potência k: o teste da raiz (Cauchy). Enunciado do teste da raiz (de forma prática):
\text{Se }L=\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}\text{ existe, então:}ã
  • se L<1 a série \sum a_k converge absolutamente (portanto converge);
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste não decide.
    Explicação curta e intuitiva: \sqrt[k]{a_k} mede a “taxa de crescimento” multiplicativa do termo; se essa taxa fica menor que 1 a potência a_k decai geometricamente e a soma converge, se for maior que 1 explode, e se for exatamente 1 é caso limite.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz ao nosso termo \displaystyle a_k=\left(\frac{k+1}{5k}\right)^{k}, calculamos a k-ésima raiz:
\sqrt[k]{a_k}=\frac{k+1}{5k}.
Agora calculamos o limite quando k\to\infty. Note que
\frac{k+1}{5k}=\frac{1+\frac{1}{k}}{5}.
Tomando limite em k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{5k}=\frac{1+\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}}{5}=\frac{1+0}{5}=\frac{1}{5}.
Portanto o valor do teste da raiz é L=\frac{1}{5}.

Passo 4

Interpretação do resultado do Passo 3: temos L=\frac{1}{5}<1. Pelo teste da raiz concluímos que a série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k+1}{5k}\right)^{k} converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 5

Para fixar a intuição e dar uma prova alternativa mais elementar, faço uma comparação com uma série geométrica: para todo k\ge 1 temos 1+\frac{1}{k}\le 2, então
\frac{k+1}{5k}=\frac{1+\frac{1}{k}}{5}\le \frac{2}{5}.
Como a função x\mapsto x^k é crescente em x>0, obtemos
\left(\frac{k+1}{5k}\right)^{k}\le\left(\frac{2}{5}\right)^{k}.
A série geométrica \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{k} converge porque sua razão \frac{2}{5} satisfaz \left|\frac{2}{5}\right|<1. Pelo teste da comparação (termos positivos), a nossa série também converge. Isso confirma o resultado do teste da raiz.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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