Verifique a convergência das p-séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} n^{-\pi}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}n^{-\pi}.
Isso é um caso clássico de p-série, cujo comportamento depende do expoente p.

Passo 2

Vamos lembrar o critério de convergência para uma p-série. Considere
\sum_{n=1}^{\infty}n^{-p}.
Esse critério afirma que:
  1. Se p>1, a série converge.
  2. Se p\le1, a série diverge.
    Uma forma de justificar esse resultado é comparar com a integral
\int_{1}^{\infty}x^{-p}\,dx,
que só converge exatamente quando p>1.

Passo 3

No nosso caso, o expoente é p=\pi. Como sabemos que
\pi\approx3{,}14>1,
aplicamos o critério e concluímos que a série converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}n^{-\pi} converge porque \pi>1.

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