Verifique a convergência das p-séries:
1+\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{16}}+\ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a série
1 + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{16}} + \cdots
e pede para verificar a convergência. Trata-se de uma p-série, ou seja, de uma série da forma \sum_{n=1}^{\infty}1/n^p. Vamos identificar o termo geral e aplicar o crité rio de p-séries.

Passo 2

Para encontrar o termo geral note que os denominadores são \sqrt[3]{1^2},\sqrt[3]{2^2},\sqrt[3]{3^2},\sqrt[3]{4^2},\dots.
Em geral
a_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} = \frac{1}{(n^2)^{1/3}} = \frac{1}{n^{2/3}}.

Passo 3

O crité rio de p-séries afirma:
uma série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} converge se, e somente se, p>1, e diverge se p\le1.

Passo 4

No nosso caso temos p = \tfrac{2}{3}. Como
\tfrac{2}{3} < 1,
segundo o critério a série diverge.

Resposta

A série
1 + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}} + \cdots
é divergente.

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