Verifique a convergência das seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente verificar se a integral
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e o teste de comparação, que ajuda a determinar a convergência comparando nossa função com outra que a gente já sabe o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função dentro da integral quando $ x $ tende ao infinito. Isso vai nos dar uma ideia de como a função se comporta nos valores grandes de $ x $.
Observando a função:
Quando $ x $ é muito grande, $ x+1 $ é aproximadamente igual a $ x $, e $ x^{6}+x+1 $ é praticamente $ x^{6} $. Então, podemos simplificar a expressão para entender melhor:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Lembre-se que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $ e $ \sqrt[3]{x^{6}} = x^{6/3} = x^{2} $. Substituindo isso na expressão, temos:
Então, para valores grandes de $ x $, nossa função se comporta como $ x^{-3/2} $.
Passo 4
Sabemos que a integral de $ x^{-p} $ de 1 até o infinito converge se $ p > 1 $ e diverge se $ p \leq 1 $. No nosso caso, o expoente é $ \frac{3}{2} $, que é maior que 1.
Isso significa que a integral de $ x^{-3/2} $ de 1 até o infinito converge.
Passo 5
Como nossa função original se comporta como $ x^{-3/2} $ para $ x $ grande e sabemos que a integral de $ x^{-3/2} $ converge, podemos usar o Teste de Comparação para concluir que a integral original também converge.
Resposta
A integral
converge.