Verifique a convergência das seguintes séries
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
O conteúdo envolvido é o Teste de Leibniz (alternating series test) para séries alternadas e o teste de convergência absoluta. Vamos precisar mostrar que os termos em valor absoluto formam uma sequência positiva, decrescente e que tendem a zero, e depois analisar a soma dos valores absolutos.
Passo 2
Mostramos que os termos em valor absoluto
tendem a zero quando
.
De fato,
De fato,
Passo 3
Verificamos que
é decrescente para
. Compara-se
Queremos
, isto é,
e
vale para todo
. Logo
é decrescente.
Passo 4
Pelo Teste de Leibniz, como
é positiva, decrescente e tende a zero, a série alternada
converge.
Passo 5
Para verificar a convergência absoluta, analisamos
Sabemos que
diverge (série harmônica) e
converge. Logo
é equivalente a uma série divergente, então não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).