Verifique a convergência das seguintes séries
sumn=5^infty(-1)^n n+1n^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=5^infty(-1)^nn+1n^2
O conteúdo envolvido é o Teste de Leibniz (alternating series test) para séries alternadas e o teste de convergência absoluta. Vamos precisar mostrar que os termos em valor absoluto formam uma sequência positiva, decrescente e que tendem a zero, e depois analisar a soma dos valores absolutos.

Passo 2

Mostramos que os termos em valor absoluto
an = n+1n^2
tendem a zero quando ntoinfty.
De fato,
limntoinftyan = limntoinftyl(nn^2+1n^2r) = limntoinftyl(1n+1n^2r) = 0

Passo 3

Verificamos que an é decrescente para n>=5. Compara-se
an = n+1n^2 e an+1 = n+2(n+1)^2
Queremos an > an+1, isto é,
n+1n^2 > n+2(n+1)^2 ;Long<=ftrightarrow; (n+1)^3 > (n+2),n^2 ;Long<=ftrightarrow; n^3+3n^2+3n+1 > n^3+2n^2,
e n^2+3n+1>0 vale para todo n>=1. Logo an é decrescente.

Passo 4

Pelo Teste de Leibniz, como an é positiva, decrescente e tende a zero, a série alternada
sumn=5^infty(-1)^nan
converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
sumn=5^inftyan = sumn=5^inftyl(1n+1n^2r)
Sabemos que sum 1/n diverge (série harmônica) e sum1/n^2 converge. Logo
sumn=5^inftyan
é equivalente a uma série divergente, então não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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