Verifique a convergência da sequência zn, cujo zn=raiz7n+[(-1)^n+1] i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência $ {z_n} $ onde cada termo é dado por $ z_n = \frac{\sqrt{7}}{n} + [(-1)^{n+1}]i $. Nosso objetivo aqui é verificar se essa sequência converge, ou seja, se ela tem um limite quando $ n $ cresce sem parar. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites de sequências de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte real da sequência, que é $ \frac{\sqrt{7}}{n} $. Conforme $ n $ aumenta, $ \frac{\sqrt{7}}{n} $ fica cada vez menor, já que estamos dividindo um número constante pela quantidade que cresce. Então, o limite dessa parte real quando $ n $ vai para o infinito é 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte imaginária, que é $ (-1)^{n+1}i $. Aqui, $ (-1)^{n+1} $ alterna entre 1 e -1 conforme $ n $ aumenta. Isso significa que a parte imaginária está oscilando entre $ i $ e $ -i $ sem se aproximar de um valor fixo. Portanto, essa parte não tem um limite definido conforme $ n $ cresce.

Passo 4

Como a parte imaginária não converge para um valor específico, mesmo que a parte real esteja tendendo a 0, a sequência $ {z_n} $ como um todo não converge no conjunto dos números complexos. Para uma sequência complexa convergir, tanto a parte real quanto a imaginária precisam ter limites definidos.

Resposta

A sequência $ {z_n} = \frac{\sqrt{7}}{n} + [(-1)^{n+1}]i $ não converge.

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