Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta x=1 da região delimitada pelas curvas dadas.
y=x, y=raizx

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=1 a região entre as curvas y=x e y=raizx. O conteúdo é cálculo de volume por sólidos de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas para resolver.

Passo 2

Primeiro determinamos onde as curvas se encontram. Igualando x=raizx temos x^2=x, ou seja x=0 ou x=1. No intervalo [0,1] a curva y=raizx fica acima de y=x.

Passo 3

Usando o método das cascas cilíndricas com fatias verticais: o raio de cada casca é r=1-x e a altura é h=raizx-x. Assim o volume é
V=2piintegral0^1(raio)(a

Passo 4

Agora expandimos e integramos:
(1-x)(raizx-x)=x^1/2-x -x^3/2+x^2,
integral0^1(x^1/2-x -x^3/2+x^2),dx=[tfrac23 -tfrac12 -tfrac25 +tfrac13]=tfrac110

Passo 5

Multiplicando por 2pi resulta
V=2picdottfrac110=tfracpi5

Resposta

pi5

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