Verifique se o critério da integral pode ou não ser aplicado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o critério da integral pode ser aplicado à série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}.
O conteúdo da matéria é o teste da integral, que exige associar a cada termo a_n de uma série uma função f(x) contínua, positiva e monotonicamente decrescente em [1,\infty), tal que f(n)=a_n.

Passo 2

Recordando o teste da integral: se existe f:[1,\infty)\to\mathbb{R} com
  1. f contínua em [1,\infty),
  2. f(x)\ge0 para todo x\ge1,
  3. f decrescente em [1,\infty),
    e a_n=f(n), então a série \sum a_n converge ou diverge simultaneamente à integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 3

Para nossa série temos a_n = (-1)^n/n. Se tentássemos definir
f(x)=\frac{(-1)^x}{x},
veríamos que
  • f(x) não é não-negativa (ela alterna sinal);
  • f(x) nem é bem definida como função contínua de x.
    Logo falha a condição de positividade e continuidade de f.

Passo 4

Como não conseguimos associar à série uma função contínua e não-negativa que reproduza a_n, não é possível aplicar o critério da integral diretamente.

Resposta

O critério da integral não pode ser aplicado à série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.

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