Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com n-ésimo termo dado por:
a_{n}=\operatorname{sen} \frac{n \pi}{6}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência \{a_n\} definida por
a_n = \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr)
é monótona (crescente ou decrescente) e se é limitada. Vamos usar propriedades de sequências reais e da função seno.

Passo 2

Uma sequência \{a_n\} é limitada se existe M>0 tal que \lvert a_n\rvert\le M para todo n. Como para todo x\in\mathbb{R} vale
-1 \le \sin(x) \le 1,
segue-se que
-1 \le \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr) \le 1
para todo n. Portanto \{a_n\} é limitada.

Passo 3

Uma sequência é monótona crescente se a_{n+1}\ge a_n para todo n, e decrescente se a_{n+1}\le a_n para todo n. Basta achar índices que violem ambos os casos. Note que
a_1 = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12,\quad a_2 = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2},\quad a_3 = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
logo a_1<a_2<a_3. Mas
a_4 = \sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2}<a_3,
mostrando uma queda e, portanto, não sendo sempre crescente. Como há aumento inicial, também não é sempre decrescente. Concluímos que não é monótona.

Resposta

A sequência \{a_n\} é limitada (pois -1\le a_n\le1 para todo n), mas não é monótona.

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