Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com
-ésimo termo dado por:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
definida por
é monótona (crescente ou decrescente) e se é limitada. Vamos usar propriedades de sequências reais e da função seno.
Passo 2
Uma sequência
é limitada se existe
tal que
para todo
. Como para todo
vale
segue-se que
para todo
. Portanto
é limitada.
Passo 3
Uma sequência é monótona crescente se
para todo
, e decrescente se
para todo
. Basta achar índices que violem ambos os casos. Note que
logo
. Mas
mostrando uma queda e, portanto, não sendo sempre crescente. Como há aumento inicial, também não é sempre decrescente. Concluímos que não é monótona.
Resposta
A sequência
é limitada (pois
para todo
), mas não é monótona.