Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n+3)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar o critério da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+3)^{3}}
Esse teste exige associar à termo geral uma função contínua, positiva e decrescente. Usaremos a função
f(x) = \frac{1}{(2x+3)^{3}}
para x\ge1.

Passo 2

Verificamos as condições do teste da integral para f(x).
  1. f(x)>0 para x\ge1, pois o denominador (2x+3)^{3} é positivo.
  2. Calculamos a derivada:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl((2x+3)^{-3}\bigr) = -3\,(2x+3)^{-4}\cdot 2 = -\frac{6}{(2x+3)^{4}} < 0
para todo x\ge1. Logo, f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Aplicamos o teste da integral avaliando
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2x+3)^{3}}\,dx.
Fazemos a substituição u=2x+3, de modo que du=2\,dx e quando x=1 temos u=5, enquanto x\to\infty u\to\infty. Assim,
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2x+3)^{3}}\,dx = \int_{5}^{\infty} \frac{1}{u^{3}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{5}^{\infty} u^{-3}\,du.
Calculando o integral impróprio:
\frac{1}{2}\int_{5}^{\infty} u^{-3}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[\frac{u^{-2}}{-2}\Bigr]_{5}^{\infty} = -\frac{1}{4}\Bigl[0 - \frac{1}{5^{2}}\Bigr] = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{25} = \frac{1}{100}.
O valor é finito, logo a integral converge.

Passo 4

Pelo critério da integral, como
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge e f satisfaz as hipóteses do teste, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+3)^{3}}
também converge.

Resposta

A série converge pelo critério da integral.

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