Verifique que o critério da integral pode ser aplicado e então conclua se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para usar o critério da integral na série
O conteúdo aqui é o teste integral para séries positivas: devemos associar à soma a função
verificar que
é contínua, positiva e decrescente em
, e estudar a convergência de
Passo 2
Verificamos as condições do teste:
- Para
, claramente . - Calculamos a derivada para checar decrescimento:
Para
, o numerador
é negativo, logo
. Assim
é decrescente em
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria associada:
Use a substituição
, de modo que
. Então
Essa integral é imediata:
então
Como o valor é finito, a integral converge.
Passo 4
Pelo critério da integral, se
converge e é positiva, contínua e decrescente em
, então a série
também converge.
converge e
também converge.
Resposta
A série
converge.
converge.