Verifique se o critério da integral pode ou não ser aplicado:
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n} \cos n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se podemos aplicar o critério da integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}\cos n.
Para usar esse critério, costumamos associar a_n = f(n) a uma função f(x) e exigir que f seja positiva, contínua e monotonicamente decrescente em [1,\infty).

Passo 2

Definimos
f(x) = e^{-x}\cos x.
O critério da integral exige três condições sobre f em [1,\infty):
  1. f(x)\ge0.
  2. f é contínua.
  3. f é decrescente.

Passo 3

Verificação da positividade: como \cos x oscila entre -1 e 1, f(x)=e^{-x}\cos x pode assumir valores negativos sempre que \cos x<0. Logo, não é verdade que f(x)\ge0 para todo x\ge1.

Passo 4

Verificação da monotonicidade: mesmo que ignorássemos o sinal, f(x) também não é monotonicamente decrescente, pois o fator \cos x oscila, fazendo f subir e descer infinitas vezes.

Passo 5

Como falta a condição de positividade (e também a de monotonicidade), o critério da integral não pode ser aplicado nesta série.

Resposta

O critério da integral não é aplicável à série \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}\cos n.

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