Verifique se o dado conjunto é uma base do
-espaço vetorial
. Caso seja, encontre as coordenadas do vetor
em relação a base dada.
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em
:
e pede para verificar se
é uma base de
. Para isso, precisamos checar se eles são linearmente independentes (LI) e, consequentemente, formam um gerador de
. O método será resolver a combinação linear
e ver se só existe a solução trivial
.
Passo 2
Escrevendo a combinação nula coordenada a coordenada, obtemos o sistema
Passo 3
Da última equação vem
. Substituindo nas duas primeiras:
- Na primeira:
\implies 3\alpha_2+3\alpha_4=0) \implies \alpha_2=-\alpha_4). - Na segunda:
\implies 3\alpha_3+2\alpha_2-\alpha_4=0). Substituindo dá \implies \alpha_3=\alpha_4).
Por fim, a terceira equação
, com
e
, torna-se
, que se satisfaz. Logo existe solução não trivial
ou seja, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 4
Como há combinação não trivial que dá o vetor nulo,
não é linearmente independente e, portanto, não é base de
. Não faz sentido então buscar coordenadas de um vetor em relação a
.
Resposta
O conjunto
não é base de
.