Verifique se o dado conjunto é uma base do R-espaço vetorial R^4. Caso seja, encontre as coordenadas do vetor v=(-1,-4,-18,6) em relação a base dada.
B=(1,-1,0,1),(3,2,3,0),(1,2,-2,1),(3,-1,5,0)

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
b1=(1,-1,0,1), b2=(3,2,3,0), b3=(1,2,-2,1), b4=(3,-1,5,0)
e pede para verificar se B=b1,b2,b3,b4 é uma base de R^4. Para isso, precisamos checar se eles são linearmente independentes (LI) e, consequentemente, formam um gerador de R^4. O método será resolver a combinação linear
alpha1,b1+alpha2,b2+alpha3,b3+alpha4,b4=(0,0,0,0)
e ver se só existe a solução trivial alpha1=alpha2=alpha3=alpha4=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação nula coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpha1 + 3alpha2 + alpha3 + 3alpha4 = 0,
-alpha1 + 2alpha2 + 2alpha3 - alpha4 = 0,
3alpha2 - 2alpha3 + 5alpha4 = 0,
alpha1 + alpha3 = 0

Passo 3

Da última equação vem alpha1=-alpha3. Substituindo nas duas primeiras:
  • Na primeira: -alpha3+3alpha2+alpha3+3alpha4=0 \implies 3\alpha_2+3\alpha_4=0) \implies \alpha_2=-\alpha_4).
  • Na segunda: alpha3+2alpha2+2alpha3-alpha4=0 \implies 3\alpha_3+2\alpha_2-\alpha_4=0). Substituindo alpha2=-alpha4 3alpha3-3alpha4=0 \implies \alpha_3=\alpha_4).
Por fim, a terceira equação 3alpha2-2alpha3+5alpha4=0, com alpha2=-alpha4 e alpha3=alpha4, torna-se -3alpha4-2alpha4+5alpha4=0, que se satisfaz. Logo existe solução não trivial
(alpha1,alpha2,alpha3,alpha4)=(-1,-1,1,1),
ou seja, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 4

Como há combinação não trivial que dá o vetor nulo, B não é linearmente independente e, portanto, não é base de R^4. Não faz sentido então buscar coordenadas de um vetor em relação a B.

Resposta

O conjunto B não é base de R^4.

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