Verifique se o dado conjunto é uma base do C-espaço vetorial C^3. Caso seja, encontre as coordenadas do vetor v=(-1-i,-1+2 i,-1+2 i) em relação a base dada.
B=(i, 1-i, 2),(2,1,-i),(5-2 i, 4,-1-i)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B=,v1,v2,v3 com
v1=(i,;1-i,;2), v2=(2,;1,;-i), v3=(5-2i,;4,;-1-i)
é uma base de C^3, isto é, se esses vetores são linearmente independentes e spanam C^3.
Para isso, vamos construir a matriz cujas colunas são v1,v2,v3 e calcular seu determinante.

Passo 2

Formamos a matriz
M= i & 2 & 5-2i 1-i & 1 & 4 2 & -,i & -1 - i
Vamos calcular det(M) pela expansão de Laplace ao longo da primeira linha:
det(M) = i;det!1 & 4 -,i & -1 - i -2;det!1-i & 4 2 & -1 - i +(5-2i);det!1-i & 1 2 & -,i
Agora cada menor:
det!1 & 4 -,i & -1 - i =1cdot(-1-i)-4cdot(-i)=-1-i+4i=-1+3i,
det!1-i & 4 2 & -1 - i =(1-i)(-1-i)-4cdot2 =-2-8=-10,
det!1-i & 1 2 & -,i =(1-i)(-i)-1cdot2 =-i+i^2-2=-i-1-2=-3-i
Substituindo:
det(M) = i(-1+3i);-;2(-10);+;(5-2i)(-3-i)
Calculando cada termo:
i(-1+3i)=-i+3i^2=-i-3=-3-i, -2(-10)=20, (5-2i)(-3-i)=-15-5i+6i+2i^2=-17+i
Somando,
det(M)=(-3-i)+20+(-17+i)=0

Passo 3

Como det(M)=0, os vetores de B são linearmente dependentes e não geram todo C^3. Logo B não é uma base de C^3 e não há coordenadas únicas de v em relação a B.

Resposta

O conjunto B não é base de C^3. Portanto, não existem coordenadas de v em relação a B.

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