Verifique se o dado conjunto é uma base do C-espaço vetorial C^3. Caso seja, encontre as coordenadas do vetor v=(-1-i,-1+2 i,-1+2 i) em relação a base dada.
B=(i, 0,1+i),(2+i, 1,-3 i),(1, i,-i)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B=,b1,b2,b3subsetC^3,
onde
b1=(i,0,1+i), b2=(2+i,1,-3i), b3=(1,i,-i),
é uma base de C^3 e, em caso afirmativo, expressar
v =(-1-i,,-1+2i,,-1+2i)
na base B.
Conteúdo: teste de independência linear via determinante e resolução de sistema linear em C.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de B:
A = i & 2+i & 1 0 & 1 & i 1+i & -3i & -i
Calculamos
det(A) = idet!1 & i -3i & -i -(2+i)det!0 & i1+i & -i +1det!0 & 11+i & -3i
Cada menor vale
det1 & i -3i & -i = -i - (icdot -3i) = -i -(-3i^2) = -i -(-3(-1)) = -i -3 = -3 - i,
det0 & i1+i & -i = 0cdot(-i) - i(1+i) = -,i - i^2 = -i +1 = 1 - i,
det0 & 11+i & -3i = 0cdot(-3i) - 1cdot(1+i) = -1 - i
Logo
det(A) = i(-3 - i);-;(2+i)(1 - i);+;(-1 - i) = (1 - 3i);+;(-3 + i);+;(-1 - i) = -3 - 3ineq 0
Como det(A)neq0, os vetores são linearmente independentes e formam base de C^3.

Passo 3

Para achar as coordenadas (x,y,z) de v em B resolvemos
x,b1+y,b2+z,b3 = (i x + (2+i)y + z,;y + i z,;(1+i)x -3i,y - i,z) = (-1-i,,-1+2i,,-1+2i)
Isto gera o sistema em C:
i,x + (2+i),y + z = -1 - i, y + i,z = -1 + 2i, (1+i),x - 3i,y - i,z = -1 + 2i

Passo 4

Da segunda equação têm-se
y = -1 + 2i - i,z
Substituindo em 1ª e 3ª equações obtemos um sistema 2times 2 em x,z.
Após simplificar chega-se a
i,x + 2(1 - i),z = 3 - 4i, (1+i),x - (3 + i),z = -7 - i
Resolvendo por substituição ou regra de Cramer, encontra-se
z = 2, x = i

Passo 5

Finalmente, de y = -1 + 2i - i,z com z=2 vem
y = -1 + 2i - 2i = -1
Portanto, as coordenadas de v na base B são
(x,y,z) = l(i,,-1,,2r)

Resposta

As colunas formam base (det neq0) e
[v]B = (,i,,-1,,2,)

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