Verifique se o dado conjunto é uma base do
-espaço vetorial
. Caso seja, encontre as coordenadas do vetor
em relação a base dada.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
,
onde
onde
é uma base de
e, em caso afirmativo, expressar
na base .
Conteúdo: teste de independência linear via determinante e resolução de sistema linear em .
na base
Conteúdo: teste de independência linear via determinante e resolução de sistema linear em
Passo 2
Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de
:
Calculamos
Cada menor vale
Logo
Como
det(A)neq0 , os vetores são linearmente independentes e formam base de
C^3 .
Passo 3
Para achar as coordenadas
(x,y,z) de
v em
B resolvemos
Isto gera o sistema em
C :
Passo 4
Da segunda equação têm-se
Substituindo em
1 ª e
3 ª equações obtemos um sistema
2times 2 em
x,z .
Após simplificar chega-se a
Após simplificar chega-se a
Resolvendo por substituição ou regra de Cramer, encontra-se
Passo 5
Finalmente, de
y = -1 + 2i - i,z com
z=2 vem
Portanto, as coordenadas de
v na base
B são
Resposta
As colunas formam base (det
neq0 ) e