Verifique se o dado conjunto é uma base do R-espaço vetorial M2(R). Caso seja, encontre as coordenadas da matriz A=[rr12 & 13 9 & 1] em relação a base dada.
B=[ll2 & 1 2 & 3],[rr-1 & 0 1 & 2],[ll-3 & 1 -1 & 1],[ll0 & 2 0 & 2]

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial M2(R) de dimensão dim M2(R)=4 e o conjunto
B=lB1,B2,B3,B4r
com
B1=2&12&3,; B2=-1&01&2,; B3=-3&1-1&1,; B4=0&20&2
Para que B seja base, os quatro vetores devem ser linearmente independentes em R^4. Vamos testar isso representando cada matriz como um vetor em R^4 e calcular o determinante da matriz de coordenas.

Passo 2

Definimos o isomorfismo
Aplicando a em cada obtemos as colunas da matriz

Passo 3

Calculamos o determinante de M. Por expansão na primeira linha, por exemplo, chega-se a
det(M) = 2 & -1 & -3 & 0 1 & 0 & 1 & 2 2 & 1 & -1 & 0 3 & 2 & 1 & 2 =0
Como det(M)=0, os vetores em B são linearmente dependentes.

Passo 4

Por serem linearmente dependentes e o número de vetores ser igual à dimensão do espaço, concluímos que B não é base de M2(R). Logo não há representação única (nem bem definida) de qualquer matriz em relação a B.

Resposta

O conjunto dado não é base de M2(R). Portanto, não existem coordenadas de A em relação a B.

Exercícios relacionados