Verifique se o dado conjunto é uma base do R-espaço vetorial M2(R). Caso seja, encontre as coordenadas da matriz A=[rr12 & 13 9 & 1] em relação a base dada.
B=[ll1 & 0 0 & 1],[ll0 & 1 1 & 0],[ll2 & 0 0 & 1],[ll0 & 2 1 & 0]

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o espaço vetorial M2(R) de todas as matrizes 2times2 e o conjunto
B=lB1,B2,B3,B4r
com
B1=1&00&1, B2=0&11&0, B3=2&00&1, B4=0&21&0
Queremos (a) verificar se B é uma base de M2(R) e, em caso afirmativo, (b) encontrar as coordenadas da matriz
A=tfrac12&139&1
em relação a B. Para isso vamos usar os conceitos de dimensão, independência linear e resolução de sistema linear.

Passo 2

Primeiro, note que . Cada matriz pode ser vista como o vetor . Assim as colunas de coordenadas de em são

Passo 3

Para checar independência, formamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3,v4:
M= 1&0&2&0 0&1&0&2 0&1&0&1 1&0&1&0
Por eliminação gaussiana:
R3 R3-R2;Rightarrow;(0,0,0,-1), R4 R4-R1;Rightarrow;(0,0,-1,0),
depois reordenando os pivôs obtemos quatro pivôs em colunas distintas. Logo rankM=4. Como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4 e são linearmente independentes, B é de fato uma base de M2(R).

Passo 4

Agora expressamos
A=(tfrac12,,13,,9,,1)
como combinação linear
x1v1+x2v2+x3v3+x4v4 =(x1+2x3,;x2+2x4,;x2+x4,;x1+x3)
deve ser igual a (tfrac12,13,9,1). Isso gera o sistema
x1+2x3=tfrac12, x2+2x4=13, x2+x4=9, x1+x3=1

Passo 5

Resolvendo o sistema, das duas equações em x2,x4:
x2+x4=9, x2+2x4=13
subtraindo a primeira da segunda obtém-se x4=4 e então x2=9-4=5. Das duas em x1,x3:
x1+x3=1, x1+2x3=tfrac12
subtraindo a primeira da segunda dá x3=-tfrac12 e, em seguida, x1=1-(-tfrac12)=tfrac32.

Resposta

B é base de M2(R) e as coordenadas de
A em relação a B são
l(x1,x2,x3,x4r) =l(tfrac32,;5,;-tfrac12,;4r)

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