Verifique se o dado conjunto é uma base do -espaço vetorial . Caso seja, encontre as coordenadas da matriz em relação a base dada. B=[ll1 & 0 0 & 1],[ll0 & 1 1 & 0],[ll2 & 0 0 & 1],[ll0 & 2 1 & 0]
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o espaço vetorial M2(R) de todas as matrizes 2times2 e o conjunto
B=lB1,B2,B3,B4r
com
B1=1&00&1, B2=0&11&0, B3=2&00&1, B4=0&21&0
Queremos (a) verificar se B é uma base de M2(R) e, em caso afirmativo, (b) encontrar as coordenadas da matriz
A=tfrac12&139&1
em relação a B. Para isso vamos usar os conceitos de dimensão, independência linear e resolução de sistema linear.
Passo 2
Primeiro, note que . Cada matriz pode ser vista como o vetor . Assim as colunas de coordenadas de em são
Passo 3
Para checar independência, formamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3,v4:
depois reordenando os pivôs obtemos quatro pivôs em colunas distintas. Logo rankM=4. Como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4 e são linearmente independentes, B é de fato uma base de M2(R).