Verifique se o dado conjunto é uma base do -espaço vetorial . Caso seja, encontre as coordenadas do polinômio em relação a base dada.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é uma base de (que tem dimensão 5) e, em caso afirmativo, encontrar as coordenadas de
na base . Para isso vamos primeiro mostrar que os vetores são linearmente independentes (e, por terem 5 elementos em espaço de dimensão 5, formam base) e depois achar os coeficientes da combinação linear que gera .
Passo 2
Suponha
para escalares
Como o polinômio é nulo, todos os coeficientes devem ser zero, gerando o sistema
Dessa forma segue , de segue , de vem . Substituindo nesses, concluímos , , e dá . Logo a única solução é trivial, o que prova independência linear. Como há 5 vetores em espaço de dimensão 5, é base.
Passo 3
Agora escrevemos
como
Repetindo o agrupamento em monômios, igualamos aos coeficientes de
De tiramos . De vem . Substituindo em obtemos , isto é . Juntando com resulta e . Então . Finalmente dá .