Verifique se o dado conjunto é uma base do R-espaço vetorial P4(R). Caso seja, encontre as coordenadas do polinômio p(t)=5-t^2-2 t^3-3 t^4 em relação a base dada.
B=2+t, t+t^2, 2 t^3, 1-t^4, t+t^3+t^4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B=2+t,;t+t^2,;2t^3,;1-t^4,;t+t^3+t^4
é uma base de P4(R) (que tem dimensão 5) e, em caso afirmativo, encontrar as coordenadas de
p(t)=5 - t^2 - 2t^3 - 3t^4
na base B. Para isso vamos primeiro mostrar que os vetores são linearmente independentes (e, por terem 5 elementos em espaço de dimensão 5, formam base) e depois achar os coeficientes da combinação linear que gera p(t).

Passo 2

Suponha
para escalares
Como o polinômio é nulo, todos os coeficientes devem ser zero, gerando o sistema
Dessa forma segue , de segue , de vem . Substituindo nesses, concluímos , , e . Logo a única solução é trivial, o que prova independência linear. Como há 5 vetores em espaço de dimensão 5, é base.

Passo 3

Agora escrevemos
como
Repetindo o agrupamento em monômios, igualamos aos coeficientes de
De tiramos . De vem . Substituindo em obtemos , isto é . Juntando com resulta e . Então . Finalmente .

Resposta

As coordenadas de p em relação à base B são
(a,b,c,d,e) = (1,,-1,,-1,,3,,0)

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