Verifique que, dados os vetores
e
, o produto interno satisfaz
, onde
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos pede para verificar uma propriedade do produto interno entre vetores. Temos três vetores no plano:
,
e
. Especificamente, queremos mostrar que multiplicar o vetor
por um escalar
antes de fazer o produto interno com
é o mesmo que multiplicar o produto interno de
e
por
. Ou seja, provar que
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno e como as propriedades dos vetores e escalares funcionam juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno de dois vetores. Para vetores no plano, o produto interno de
e
é dado por:
Isso significa que multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos os resultados.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno de
e
. Primeiro, multiplicamos cada componente de
por
:
Em seguida, aplicamos a fórmula do produto interno:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão que encontramos:
Podemos fatorar o
(que é um número real) das duas parcelas:
Passo 5
Observamos que a expressão dentro dos parênteses é exatamente o produto interno de
e
:
Então, podemos substituir:
Resposta
Pronto! Mostramos que
, conforme solicitado.