Verifique que, dados os vetores u=(u1, u2), v=(v1, v2) e w=(w1, w2), o produto interno satisfaz lang<=alpha u, vrang<==alphalang<=u, vrang<=, onde alpha in R.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para verificar uma propriedade do produto interno entre vetores. Temos três vetores no plano: u=(u1, u2), v=(v1, v2) e w=(w1, w2). Especificamente, queremos mostrar que multiplicar o vetor u por um escalar alpha antes de fazer o produto interno com v é o mesmo que multiplicar o produto interno de u e v por alpha. Ou seja, provar que lang<= alpha u, v rang<= = alpha lang<= u, v rang<=. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto interno e como as propriedades dos vetores e escalares funcionam juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno de dois vetores. Para vetores no plano, o produto interno de u e v é dado por:
lang<= u, v rang<= = u1v1 + u2v2
Isso significa que multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos os resultados.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno de alpha u e v. Primeiro, multiplicamos cada componente de u por alpha:
alpha u = (alpha u1, alpha u2)
Em seguida, aplicamos a fórmula do produto interno:
lang<= alpha u, v rang<= = (alpha u1)v1 + (alpha u2)v2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão que encontramos:
lang<= alpha u, v rang<= = alpha u1v1 + alpha u2v2
Podemos fatorar o alpha (que é um número real) das duas parcelas:
lang<= alpha u, v rang<= = alpha (u1v1 + u2v2)

Passo 5

Observamos que a expressão dentro dos parênteses é exatamente o produto interno de u e v:
lang<= u, v rang<= = u1v1 + u2v2
Então, podemos substituir:
lang<= alpha u, v rang<= = alpha lang<= u, v rang<=

Resposta

Pronto! Mostramos que lang<= alpha u, v rang<= = alpha lang<= u, v rang<=, conforme solicitado.

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