Verifique a definição formal de cada tipo de limite e qual se aplica aos limites dados abaixo e prove-os:
lim x 5 2 x-2x-3=4

Passo 1

O enunciado pede para provar, pelo método varepsilon- de<a, que
limxto 52x-2x-3=4
Trata-se de um limite finito de uma função real num ponto finito a=5. Vamos usar a definição formal:
“Para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, para todo x no domínio de f, se
0<|x-5|<de<a
então
l|f(x)-4r|<varepsilon

Passo 2

Começamos calculando a diferença
gl|2x-2x-3-4gr|
Colocando na mesma fração:
2x-2x-3-4 =2x-2-4(x-3)x-3 =2x-2-4x+12x-3 =-2x+10x-3 =-2,x-5,x-3,
Logo
gl|2x-2x-3-4gr| =2,|x-5||x-3|

Passo 3

Para controlar o denominador |x-3| longe de zero, impomos que |x-5|<1. Nesse caso
|x-3|=|(x-5)+2|>= |,2|-|x-5|>2-1=1
Portanto, quando |x-5|<1 temos |x-3|>1 e então
2,|x-5||x-3|<2,|x-5|1=2|x-5|

Passo 4

Queremos fazer
2|x-5|<varepsilon
Basta exigir
|x-5|<varepsilon2
Assim, se definirmos
de<a=minl1,;varepsilon2r,
então para todo x com 0<|x-5|<de<a vale simultaneamente |x-5|<1 e |x-5|<varepsilon/2, garantindo
gl|2x-2x-3-4gr|<2|x-5|<varepsilon

Resposta

Pela definição varepsilon- de<a, escolhendo de<a=min1,varepsilon/2, mostramos que toda vez que 0<|x-5|<de<a ocorre
l|2x-2x-3-4r|<varepsilon. Logo
limxto52x-2x-3=4

Exercícios relacionados