Mostre que as funções dadas satisfazem a equação diferencial parcial zx x+zy y=0, chamada equação de Laplace.
z=e^x sin y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
z = e^xsin y
satisfaz a equação de Laplace
zxx + zyy = 0
Vamos usar cálculo de derivadas parciais para verificar que a soma de zxx e zyy é zero.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em x. Primeiro,
zx = partialpartial xl(e^xsin yr) = e^xsin y,
e em seguida
zxx = partialpartial xl(e^xsin yr) = e^xsin y

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em y. Primeiro,
zy = partialpartial yl(e^xsin yr) = e^xcos y,
e em seguida
zyy = partialpartial yl(e^xcos yr) = -,e^xsin y

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas:
zxx + zyy = l(e^xsin yr) + l(-,e^xsin yr) = 0

Resposta

A função z=e^xsin y satisfaz a equação de Laplace zxx+zyy=0.

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