Verifique a dependência linear do conjunto de vetores
\{(1,2,1),(2,1,0),(1,3,3)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a dependência linear do conjunto de vetores \{(1,2,1),\,(2,1,0),\,(1,3,3)\}.
As informações fornecidas são os três vetores:
v_1=(1,2,1),\qquad v_2=(2,1,0),\qquad v_3=(1,3,3).
A pergunta é: esses vetores são linearmente dependentes ou linearmente independentes?

Passo 2

Definição prática que vamos usar (muito importante): o conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente dependente se existem escalares \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3, nem todos zero, tais que
\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = 0.
Caso a única solução do sistema acima seja \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0, dizemos que os vetores são linearmente independentes. Vamos então escrever essa combinação e transformar em um sistema linear.

Passo 3

Escrevendo componente a componente a igualdade \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = 0 obtemos o sistema homogêneo
\begin{cases} \lambda_1 + 2\lambda_2 + \lambda_3 = 0,\\[4pt] 2\lambda_1 + \lambda_2 + 3\lambda_3 = 0,\\[4pt] \lambda_1 + 0\lambda_2 + 3\lambda_3 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Colocando isso na forma matricial (coeficientes) temos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda_1\\[4pt]\lambda_2\\[4pt]\lambda_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Agora aplicamos eliminação de Gauss para descobrir as possíveis soluções (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3).]

Passo 5

Começamos a eliminar abaixo do pivô da primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda e subtraímos a primeira linha da terceira:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \overset{R_2\leftarrow R_2-2R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -3 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \overset{R_3\leftarrow R_3-R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -3 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora vamos eliminar o elemento da terceira linha, segunda coluna. Para evitar frações faremos uma combinação inteira: substituímos R_3 por 3R_3-2R_2. Calculando:
3R_3 - 2R_2 = 3(0,-2,2) - 2(0,-3,1) = (0,-6,6)-(0,-6,2)=(0,0,4).
Assim a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 7

A partir da forma triangular superior lemos as equações para os \lambda:
  • Da terceira linha: 4\lambda_3 = 0 então \lambda_3 = 0.
  • Da segunda linha: -3\lambda_2 + 1\lambda_3 = 0. Como \lambda_3=0, segue -3\lambda_2 = 0 e portanto \lambda_2 = 0.
  • Da primeira linha: \lambda_1 + 2\lambda_2 + \lambda_3 = 0. Substituindo \lambda_2=\lambda_3=0 obtemos \lambda_1 = 0.
Logo a única solução do sistema homogêneo é \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0, ou seja, a combinação linear trivial.

Passo 8

Conclusão lógica: como a única combinação que produz o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes zero), os vetores não são linearmente dependentes; portanto eles são linearmente independentes. Uma observação prática: isso também significa que a matriz de coeficientes tem posto 3 (não singulares), o que confirma a independência.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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