Verifique a dependência linear do conjunto de vetores \{(1,2,1),(2,1,0),(1,3,3)\}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a dependência linear do conjunto de vetores \{(1,2,1),\,(2,1,0),\,(1,3,3)\}.
As informações fornecidas são os três vetores:
A pergunta é: esses vetores são linearmente dependentes ou linearmente independentes?
Passo 2
Definição prática que vamos usar (muito importante): o conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente dependente se existem escalares \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3, nem todos zero, tais que
Caso a única solução do sistema acima seja \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0, dizemos que os vetores são linearmente independentes. Vamos então escrever essa combinação e transformar em um sistema linear.
Passo 3
Escrevendo componente a componente a igualdade \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = 0 obtemos o sistema homogêneo
Agora vamos eliminar o elemento da terceira linha, segunda coluna. Para evitar frações faremos uma combinação inteira: substituímos R_3 por 3R_3-2R_2. Calculando:
A partir da forma triangular superior lemos as equações para os \lambda:
Da terceira linha: 4\lambda_3 = 0 então \lambda_3 = 0.
Da segunda linha: -3\lambda_2 + 1\lambda_3 = 0. Como \lambda_3=0, segue -3\lambda_2 = 0 e portanto \lambda_2 = 0.
Da primeira linha: \lambda_1 + 2\lambda_2 + \lambda_3 = 0. Substituindo \lambda_2=\lambda_3=0 obtemos \lambda_1 = 0.
Logo a única solução do sistema homogêneo é \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0, ou seja, a combinação linear trivial.
Passo 8
Conclusão lógica: como a única combinação que produz o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes zero), os vetores não são linearmente dependentes; portanto eles são linearmente independentes. Uma observação prática: isso também significa que a matriz de coeficientes tem posto 3 (não singulares), o que confirma a independência.