Verifique por derivação que a fórmula está correta.
integral xraizx^2+1 d x=raizx^2+1+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar, usando derivação, se a seguinte fórmula está certinha:
integral xraizx^2+1 , dx = raizx^2+1 + C
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e diferencial, mais especificamente com a relação entre integrais e derivadas. Vamos precisar usar a regra da derivada para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a gente precisa fazer: derivar o lado direito da equação para ver se a gente retorna à função dentro da integral, que é xraizx^2+1.
Então, temos que derivar raizx^2+1 + C. A constante C vai desaparecer na derivada, então vamos focar em raizx^2+1.

Passo 3

Vamos derivar raizx^2+1. Para isso, a gente utiliza a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, a gente pode pensar em raizx^2+1 como (x^2+1)^12.
A derivada de (x^2+1)^12 é:
12(x^2+1)^-12 cdot 2x

Passo 4

Simplificando a expressão:
12 cdot 2x cdot (x^2+1)^-12 = x cdot (x^2+1)^-12
Isso pode ser escrito como:
xraizx^2+1

Passo 5

Viu só? A derivada de raizx^2+1 + C voltou a gente para xraizx^2+1, que é exatamente a função que estava dentro da integral. Isso confirma que a fórmula original está correta.

Resposta

A derivação confirma que:
integral xraizx^2+1 , dx = raizx^2+1 + C

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