Verifique por derivação que a fórmula está correta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar, usando derivação, se a seguinte fórmula está certinha:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e diferencial, mais especificamente com a relação entre integrais e derivadas. Vamos precisar usar a regra da derivada para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a gente precisa fazer: derivar o lado direito da equação para ver se a gente retorna à função dentro da integral, que é
.
Então, temos que derivar
. A constante
vai desaparecer na derivada, então vamos focar em
.
Passo 3
Vamos derivar
. Para isso, a gente utiliza a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, a gente pode pensar em
como
.
A derivada de
é:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Isso pode ser escrito como:
Passo 5
Viu só? A derivada de
voltou a gente para
, que é exatamente a função que estava dentro da integral. Isso confirma que a fórmula original está correta.
Resposta
A derivação confirma que: