Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
f(y)=\binom{n}{y} p^{y}(1-p)^{n-y}, \quad y=0,1, \ldots, n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a distribuição dada pertence à família exponencial. A distribuição é a seguinte (para y=0,1,\ldots,n):
f(y)=\binom{n}{y} p^{y}(1-p)^{n-y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f(y) é uma função de probabilidade discreta (binomial) com parâmetro p (onde 0<p<1) e tamanho n (assumido conhecido e fixo).
  • A pergunta é verificar se essa família de distribuições pode ser escrita na forma da família exponencial (ou seja, colocar a pmf no formato padrão da família exponencial).

Passo 2

O que significa “pertencer à família exponencial”? Vou escrever a forma canônica (mais usada) e explicar cada peça devagarinho.
A forma canônica (univariada) de uma família exponencial é:
f(y;\theta)=h(y)\exp\big(\eta(\theta)\,T(y)-A(\theta)\big),
onde:
  • h(y) é a medida de base (depende só em y, não no parâmetro);
  • \eta(\theta) é o parâmetro natural (também chamado de parâmetro canônico), função do parâmetro original \theta;
  • T(y) é a estatística suficiente natural (depende só em y);
  • A(\theta) é a função log-partição (normalizadora), que depende só do parâmetro e garante que a densidade soma/integral para 1.
Para provar que uma família pertence à família exponencial, basta escrever a pmf/densidade nessa forma, identificando h(y), \eta(\theta), T(y) e A(\theta).

Passo 3

Vamos manipular a pmf da binomial para deixá-la na forma exponencial. Começo tomando a forma já dada:
f(y)=\binom{n}{y} p^{y}(1-p)^{n-y}.
Reescrevo os fatores com expoentes exponenciais (colocando tudo num exponencial):
f(y)=\binom{n}{y}\exp\big(y\log p + (n-y)\log(1-p)\big).
Agora agrupo os termos que multiplicam y e os que são independentes de y:
y\log p + (n-y)\log(1-p) = y\log\!\bigg(\frac{p}{1-p}\bigg) + n\log(1-p).
Logo,
f(y)=\binom{n}{y}\exp\Big( y\log\!\bigg(\frac{p}{1-p}\bigg) + n\log(1-p)\Big).

Passo 4

Para colocar na forma canônica, defino o parâmetro natural \eta como o logit de p:
\eta=\log\!\bigg(\frac{p}{1-p}\bigg).
Com essa escolha, precisamos escrever n\log(1-p) em termos de \eta. Primeiro, escrevemos p em função de \eta:
p=\frac{e^{\eta}}{1+e^{\eta}}, \qquad 1-p=\frac{1}{1+e^{\eta}}.
Portanto
\log(1-p) = -\log(1+e^{\eta}).
Substituindo isso em n\log(1-p) obtemos
n\log(1-p) = -n\log(1+e^{\eta}).
Agora a pmf fica
f(y)=\binom{n}{y}\exp\Big( \eta\,y - n\log(1+e^{\eta})\Big).

Passo 5

Compare com a forma geral \;f(y;\theta)=h(y)\exp(\eta(\theta)T(y)-A(\theta))\;. Podemos identificar diretamente:
  • h(y)=\binom{n}{y} (depende só de y);
  • T(y)=y (estatística suficiente natural, depende só de y);
  • \eta=\eta(p)=\log\!\big(\tfrac{p}{1-p}\big) (parâmetro natural, função de p);
  • A(\eta)=n\log(1+e^{\eta}) (função log-partição; depende só de \eta).
Logo a pmf foi escrita exatamente na forma da família exponencial.

Passo 6

Interpretações e propriedades importantes (para a prova e compreensão):
  • A estatística suficiente natural é T(y)=y. Isso significa que, para inferência sobre p com n conhecido, o valor observado y contém toda a informação necessária (no sentido de suficiência).
  • O espaço do parâmetro natural \eta é todo \mathbb{R}, pois p\in(0,1) mapeia para \eta\in\mathbb{R} via logit.
  • A função A(\eta)=n\log(1+e^{\eta}) é convexa e é a função cumulante: derivando A dá a esperança de T(Y) e assim por diante (propriedade útil em teoria exponencial).
  • Observação prática: a forma acima assume n conhecido e fixo. Se n fosse também parâmetro desconhecido (número inteiro), a situação muda — normalmente não se trata n como parâmetro contínuo na família exponencial padrão.

Passo 7

Conclusão prática e como responder em prova:
  • Mostre os passos algébricos que eu fiz: escrever como exponencial, identificar \eta (logit), reescrever 1-p em termos de \eta e identificar h(y),T(y),A(\eta).
  • Escreva a forma canônica final para a pmf, pois isso é prova suficiente de que pertence à família exponencial.

Resposta

Sim. A distribuição binomial pode ser escrita na forma canônica da família exponencial:
f(y)=\binom{n}{y}\exp\Big(\eta\,y - n\log(1+e^{\eta})\Big),
com \eta=\log\!\big(\tfrac{p}{1-p}\big), T(y)=y, h(y)=\binom{n}{y} e A(\eta)=n\log(1+e^{\eta}).

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