Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a distribuição dada pertence à família exponencial. A distribuição é a seguinte (para
):
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é uma função de probabilidade discreta (binomial) com parâmetro (onde ) e tamanho (assumido conhecido e fixo). - A pergunta é verificar se essa família de distribuições pode ser escrita na forma da família exponencial (ou seja, colocar a pmf no formato padrão da família exponencial).
Passo 2
O que significa “pertencer à família exponencial”? Vou escrever a forma canônica (mais usada) e explicar cada peça devagarinho.
A forma canônica (univariada) de uma família exponencial é:
A forma canônica (univariada) de uma família exponencial é:
onde:
-
é a medida de base (depende só em , não no parâmetro); -
é o parâmetro natural (também chamado de parâmetro canônico), função do parâmetro original ; -
é a estatística suficiente natural (depende só em ); -
é a função log-partição (normalizadora), que depende só do parâmetro e garante que a densidade soma/integral para 1.
Para provar que uma família pertence à família exponencial, basta escrever a pmf/densidade nessa forma, identificando
,
,
e
.
Passo 3
Vamos manipular a pmf da binomial para deixá-la na forma exponencial. Começo tomando a forma já dada:
Reescrevo os fatores com expoentes exponenciais (colocando tudo num exponencial):
Agora agrupo os termos que multiplicam
e os que são independentes de
:
Logo,
Passo 4
Para colocar na forma canônica, defino o parâmetro natural
como o logit de
:
Com essa escolha, precisamos escrever
em termos de
. Primeiro, escrevemos
em função de
:
Portanto
Substituindo isso em
obtemos
Agora a pmf fica
Passo 5
Compare com a forma geral
. Podemos identificar diretamente:
-
(depende só de ); -
(estatística suficiente natural, depende só de ); -
(parâmetro natural, função de ); -
(função log-partição; depende só de ).
Logo a pmf foi escrita exatamente na forma da família exponencial.
Passo 6
Interpretações e propriedades importantes (para a prova e compreensão):
- A estatística suficiente natural é
. Isso significa que, para inferência sobre com conhecido, o valor observado contém toda a informação necessária (no sentido de suficiência). - O espaço do parâmetro natural
é todo , pois mapeia para via logit. - A função
é convexa e é a função cumulante: derivando dá a esperança de e assim por diante (propriedade útil em teoria exponencial). - Observação prática: a forma acima assume
conhecido e fixo. Se fosse também parâmetro desconhecido (número inteiro), a situação muda — normalmente não se trata como parâmetro contínuo na família exponencial padrão.
Passo 7
Conclusão prática e como responder em prova:
- Mostre os passos algébricos que eu fiz: escrever como exponencial, identificar
(logit), reescrever em termos de e identificar . - Escreva a forma canônica final para a pmf, pois isso é prova suficiente de que pertence à família exponencial.
Resposta
Sim. A distribuição binomial pode ser escrita na forma canônica da família exponencial:
com
,
,
e
.