e pede para verificar se essa distribuição pertence à família exponencial. Informação implícita: o parâmetro \lambda satisfaz \lambda>0. A tarefa é responder se existe uma reescrita da forma padrão da família exponencial e identificar os componentes (medida base, parâmetro natural, estatística suficiente, etc.).
Passo 2
O que é ser “da família exponencial”? Vou explicar de forma bem direta e amigável.
Uma família de distribuições (discreta ou contínua) pertence à família exponencial de uma variável quando sua função de probabilidade (ou densidade) pode ser escrita na forma canônica
h(y) é a função de medida base que depende só de y;
\eta(\theta) é o parâmetro natural (ou função do parâmetro original \theta);
T(y) é a estatística de suficiente (função de y);
A(\theta) (chamado função de cumulante) garante normalização e depende só do parâmetro.
Essa forma é poderosa porque imediatamente dá propriedades como estatística suficiente, esperança e variância via derivadas de A. Exemplo curto para intuir: a Bernoulli com parâmetro p pode ser escrita nessa forma com \eta=\log\frac{p}{1-p} e T(y)=y.
Passo 3
Vamos manipular a função dada para colocá-la na forma exponencial. Começo reescrevendo a potência:
Interpretações e verificações importantes (para a prova):
O espaço do parâmetro natural \eta é todo \mathbb{R} porque \lambda>0 implica \eta=\log\lambda\in\mathbb{R}. Logo é uma família exponencial regular (parâmetro natural não restrito).
A estatística suficiente para uma amostra iid Y_1,\dots,Y_n é T(\mathbf{y})=\sum_{i=1}^n y_i (soma dos contadores), pois o termo envolvendo dados fica \exp\{\eta\sum y_i\}.
Propriedade útil: as derivadas de A(\eta) dão momentos. AquiA(\eta)=e^{\eta},\qquad A'(\eta)=e^{\eta}=\lambda,\qquad A''(\eta)=e^{\eta}=\lambda.Assim, para uma observação Y temos \mathbb{E}[Y]=A'(\eta)=\lambda e \mathrm{Var}(Y)=A''(\eta)=\lambda, que coincide com as propriedades conhecidas da Poisson.
Passo 6
Resumo didático (como decorar/usar isso na prova): ao ver uma pmf ou pdf com um termo que é exponencial de algo linear em y mais um termo que depende só do parâmetro, tente escrever como h(y)\exp\{y\cdot(\text{algo em }\theta)-A(\theta)\}. No caso dado, o truque foi escrever \lambda^{y}=\exp(y\log\lambda) e identificar \eta=\log\lambda. Quando conseguir isso, já está provado que a distribuição é da família exponencial e você pode extrair estatística suficiente e momentos pela função A.
Resposta
Sim. A distribuição é da família exponencial; na forma canônica: