Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
f(y)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{y}}{y!}, \quad y=0,1,2, \ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a função de probabilidade
f(y)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{y}}{y!},\qquad y=0,1,2,\ldots
e pede para verificar se essa distribuição pertence à família exponencial. Informação implícita: o parâmetro \lambda satisfaz \lambda>0. A tarefa é responder se existe uma reescrita da forma padrão da família exponencial e identificar os componentes (medida base, parâmetro natural, estatística suficiente, etc.).

Passo 2

O que é ser “da família exponencial”? Vou explicar de forma bem direta e amigável.
Uma família de distribuições (discreta ou contínua) pertence à família exponencial de uma variável quando sua função de probabilidade (ou densidade) pode ser escrita na forma canônica
f(y;\theta)=h(y)\,\exp\{\eta(\theta)\,T(y)-A(\theta)\},
onde:
  • h(y) é a função de medida base que depende só de y;
  • \eta(\theta) é o parâmetro natural (ou função do parâmetro original \theta);
  • T(y) é a estatística de suficiente (função de y);
  • A(\theta) (chamado função de cumulante) garante normalização e depende só do parâmetro.
    Essa forma é poderosa porque imediatamente dá propriedades como estatística suficiente, esperança e variância via derivadas de A. Exemplo curto para intuir: a Bernoulli com parâmetro p pode ser escrita nessa forma com \eta=\log\frac{p}{1-p} e T(y)=y.

Passo 3

Vamos manipular a função dada para colocá-la na forma exponencial. Começo reescrevendo a potência:
\lambda^{y}=\exp\{y\log\lambda\}.
Substituindo em f(y) vem
f(y)=\frac{1}{y!}\,\exp\{-\lambda + y\log\lambda\}.
Colocando como um único expoente:
f(y)=\underbrace{\frac{1}{y!}}_{h(y)}\;\exp\{\,y\log\lambda - \lambda\,\}.

Passo 4

Agora identifique as peças da forma canônica. Compare
f(y)=h(y)\,\exp\{\eta(\theta)T(y)-A(\theta)\}
com
f(y)=\frac{1}{y!}\exp\{y\log\lambda - \lambda\}.
Portanto, uma escolha natural é:
  • h(y)=\dfrac{1}{y!} (depende só de y);
  • T(y)=y (estatística suficiente, depende só de y);
  • tomar o parâmetro natural \eta como \eta=\log\lambda;
  • então \eta T(y)=y\log\lambda;
  • a função de cumulante A em termos de \eta satisfaz A(\eta)=e^{\eta}, pois \lambda=e^{\eta} e o termo -\lambda vira -e^{\eta}.
Escrevendo em termos de \eta ficamos com a forma canônica
f(y)=\frac{1}{y!}\exp\{y\eta - e^{\eta}\},\qquad \eta=\log\lambda\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interpretações e verificações importantes (para a prova):
  • O espaço do parâmetro natural \eta é todo \mathbb{R} porque \lambda>0 implica \eta=\log\lambda\in\mathbb{R}. Logo é uma família exponencial regular (parâmetro natural não restrito).
  • A estatística suficiente para uma amostra iid Y_1,\dots,Y_n é T(\mathbf{y})=\sum_{i=1}^n y_i (soma dos contadores), pois o termo envolvendo dados fica \exp\{\eta\sum y_i\}.
  • Propriedade útil: as derivadas de A(\eta) dão momentos. Aqui A(\eta)=e^{\eta},\qquad A'(\eta)=e^{\eta}=\lambda,\qquad A''(\eta)=e^{\eta}=\lambda.Assim, para uma observação Y temos \mathbb{E}[Y]=A'(\eta)=\lambda e \mathrm{Var}(Y)=A''(\eta)=\lambda, que coincide com as propriedades conhecidas da Poisson.

Passo 6

Resumo didático (como decorar/usar isso na prova): ao ver uma pmf ou pdf com um termo que é exponencial de algo linear em y mais um termo que depende só do parâmetro, tente escrever como h(y)\exp\{y\cdot(\text{algo em }\theta)-A(\theta)\}. No caso dado, o truque foi escrever \lambda^{y}=\exp(y\log\lambda) e identificar \eta=\log\lambda. Quando conseguir isso, já está provado que a distribuição é da família exponencial e você pode extrair estatística suficiente e momentos pela função A.

Resposta

Sim. A distribuição é da família exponencial; na forma canônica:
f(y)=\frac{1}{y!}\exp\{y\eta - e^{\eta}\},\qquad \eta=\log\lambda,
com h(y)=1/y!, T(y)=y e A(\eta)=e^{\eta}.

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