Verifique se as distribuições de probabilidade abaixo, são legítma distribuição de probabilidade.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, então a questão é a seguinte: a gente tem uma “distribuição” dada por
e precisa ver se ela é de fato uma distribuição de probabilidade legítima. O conteúdo aqui é série numérica e propriedades de distribuição de probabilidade discreta. Para ser válida, precisamos:
- Todos os
serem ≥0. - A soma (ou série)
dar exatamente 1.
Passo 2
Primeiro, checar
.
Como para todo
e
naturais, temos
Como
Então a condição de não-negatividade está OK.
Passo 3
Agora precisamos ver se
Essa soma é conhecida como função zeta de Riemann:
• Para
,
diverge (vai a infinito), então nem soma dá valor finito.
• Para ,
converge, mas sempre dá um número maior que 1 (por exemplo,
,
, etc.).
• Para
Em nenhum caso
.
Resposta
A função
não é uma distribuição de probabilidade legítima para nenhum
, pois sua soma infinita não dá exatamente 1 (ou diverge, se
).