Verifique se as distribuições de probabilidade abaixo, são legítma distribuição de probabilidade.
(d) P(X=k)=1k^i com i=1,2, ldots

Passo 1

Beleza, então a questão é a seguinte: a gente tem uma “distribuição” dada por
P(X=k)=1k^i, k=1,2,dots,; i=1,2,dots
e precisa ver se ela é de fato uma distribuição de probabilidade legítima. O conteúdo aqui é série numérica e propriedades de distribuição de probabilidade discreta. Para ser válida, precisamos:
  1. Todos os serem ≥0.
  2. A soma (ou série) dar exatamente 1.

Passo 2

Primeiro, checar 1k^i>0.
Como para todo e naturais, temos
Então a condição de não-negatividade está OK.

Passo 3

Agora precisamos ver se
sumk=1^inftyP(X=k)=sumk=1^infty1k^i=1
Essa soma é conhecida como função zeta de Riemann:
zeta(i)=sumk=1^infty1k^i
• Para , diverge (vai a infinito), então nem soma dá valor finito.
• Para , converge, mas sempre dá um número maior que 1 (por exemplo, , , etc.).
Em nenhum caso .

Resposta

A função não é uma distribuição de probabilidade legítima para nenhum , pois sua soma infinita não dá exatamente 1 (ou diverge, se ).

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