Verifique se as distribuições de probabilidade abaixo, são legítma distribuição de probabilidade.
(b) P(X=x)=1 / n com x=1,2, ldots, n.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente verificar se a função
P(X=x)=1n, x=1,2,ldots,n
é uma “distribuição de probabilidade” legítima. Isso faz parte da matéria de variáveis aleatórias discretas. Pra resolver, a gente vai usar dois requisitos básicos:
  1. Toda probabilidade precisa ser não-negativa: .
  2. A soma de todas as probabilidades deve dar 1: .

Passo 2

Primeiro requisito – não-negatividade:
Aqui P(X=x)=1n>=0 . Como é um inteiro positivo, . Logo, para todo ,
Então tá tudo certo com o primeiro critério.

Passo 3

Segundo requisito – soma das probabilidades:
A gente soma sumx=1^nP(X=x) =sumx=1^n1n =underbrace1n+1n+cdots+1nn vezes =ncdot1n=1 para todos os valores possíveis de :
Explicando de leve: quando você soma o mesmo número exatamente vezes, o resultado é .

Resposta

Sim! Essa é uma distribuição de probabilidade discreta legítima, pois (1) todas as probabilidades são não-negativas e (2) a soma delas dá exatamente 1.

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