Verifique a divergência das séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n}
converge ou diverge.
O conteúdo principal é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o Critério da Razão (d’Alembert) — além de observar que, para convergência, é necessário \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Denotando
a_n = \frac{n!}{2^n},
aplicamos o Critério da Razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}}{\frac{n!}{2^n}} = \frac{(n+1)!}{n!}\;\frac{2^n}{2^{\,n+1}} = \frac{n+1}{2}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2} = +\infty > 1,
o Critério da Razão garante que a série diverge.

Passo 3

Além disso, como \frac{n+1}{2}>1 para n suficientemente grande, os termos a_n não tendem a zero, o que já impossibilita a convergência (teste da condição necessária).

Resposta

A série diverge.

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