Verifique que (x-1)(x+1) divide 2 x^{7}-6 x^{6}+3 x^{5}+x^{4}+x^{3}+3 x^{2}-6 x+2. Determine a multiplicidade das raízes 1 \mathrm{e}-1.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=2x^{7}-6x^{6}+3x^{5}+x^{4}+x^{3}+3x^{2}-6x+2
e pede para verificar que (x-1)(x+1) é fator e determinar as multiplicidades das raízes x=1 e x=-1. Vamos usar divisão sintética para cada raiz e ver quantas vezes cada fator se repete.

Passo 2

Para a raiz x=1:
  1. Dividindo P(x) por (x-1) por sintética em 1, o resto é zero e o quociente é
Q_{1}(x)=2x^{6}-4x^{5}-x^{4}+x^{2}+4x-2.
  1. Repetindo a divisão sintética de Q_{1}(x) por (x-1), novamente o resto é zero e o quociente vira
Q_{2}(x)=2x^{5}-2x^{4}-3x^{3}-3x^{2}-2x+2.
  1. Ao tentar uma terceira divisão de Q_{2}(x) por (x-1), o resto é -6\neq0.
    Como obtemos resto zero exatamente duas vezes, conclui-se que (x-1)^{2} divide P(x) mas (x-1)^{3} não. Logo, a multiplicidade de x=1 é 2.

Passo 3

Para a raiz x=-1:
  1. Dividindo P(x) por (x+1) por sintética em -1, o resto é zero e o quociente é
R_{1}(x)=2x^{6}-8x^{5}+11x^{4}-10x^{3}+11x^{2}-8x+2.
  1. Ao tentar dividir R_{1}(x) por (x+1) uma segunda vez, o resto é 52\neq0.
    Como obtemos resto zero apenas na primeira divisão, a multiplicidade de x=-1 é 1.

Resposta

A raiz x=1 tem multiplicidade 2 e a raiz x=-1 tem multiplicidade 1.

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