Verifique que (x-2)(x+3) divide f(x)=x^{4}+x^{3}-15 x^{2}-9 x+54. Determine a multiplicidade das raízes 2 e -3 .

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=x^{4}+x^{3}-15x^{2}-9x+54
e informa que (x-2) e (x+3) são fatores. O objetivo é encontrar a fatoração completa e, a partir dela, determinar a multiplicidade de x=2 e de x=-3. O conteúdo usado será divisão sintética (ou polinomial) e fatoração de trinômio.

Passo 2

Vamos dividir f(x) por (x-2) usando divisão sintética em x=2. Os coeficientes de f são 1,\;1,\;-15,\;-9,\;54.
Aplicando a síntese:
- Baixamos 1.
- Multiplicamos por 2: dá 2. Somamos a 1 e obtemos 3.
- Multiplicamos 3 por 2: dá 6. Somamos a -15 e obtemos -9.
- Multiplicamos -9 por 2: dá -18. Somamos a -9 e obtemos -27.
- Multiplicamos -27 por 2: dá -54. Somamos a 54 e obtemos 0.
O resto é zero, e a divisão resulta em
f(x)=(x-2)\bigl(x^{3}+3x^{2}-9x-27\bigr).

Passo 3

Agora dividimos o quociente x^{3}+3x^{2}-9x-27 por (x+3), isto é, sintética em x=-3. Os coeficientes são 1,\;3,\;-9,\;-27.
- Baixamos 1.
- Multiplicamos por -3: dá -3. Somamos a 3 e obtemos 0.
- Multiplicamos 0 por -3: dá 0. Somamos a -9 e obtemos -9.
- Multiplicamos -9 por -3: dá 27. Somamos a -27 e obtemos 0.
O resto é zero, e ficamos com
x^{3}+3x^{2}-9x-27=(x+3)\bigl(x^{2}-9\bigr).

Passo 4

O trinômio x^{2}-9 é diferença de quadrados e fatora como
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Substituindo, obtemos a fatoração completa
f(x)=(x-2)\,(x+3)\,(x-3)\,(x+3)=(x-2)(x-3)(x+3)^{2}.

Passo 5

Na fatoração (x-2)^{1}(x+3)^{2}(x-3)^{1}, vemos que a raiz x=2 aparece com expoente 1 e a raiz x=-3 aparece com expoente 2.

Resposta

A raiz 2 tem multiplicidade 1.
A raiz -3 tem multiplicidade 2.

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