Determine as trajetorias ortogonais as seguintes familias de curvas:
Cx2+y2=C.
Cx2+y2=C.
Passo 1
Resumindo, temos a família de curvas
onde
é o parâmetro. Queremos encontrar as curvas ortogonais, isto é, aquelas cuja inclinação em cada ponto é o negativo do inverso da inclinação da família dada. Vamos usar diferenciação implícita para achar
, depois trocar para a inclinação ortogonal e resolver a EDO resultante por separação de variáveis.
Passo 2
Diferenciando implicitamente
em relação a
(com
constante), obtemos
Assim,
Além disso, da equação original isolamos
Substituindo em
, vem
Passo 3
As trajetórias ortogonais satisfazem
Reescrevendo, temos
ou ainda
Passo 4
Separamos variáveis e integramos:
Isso dá
onde
é constante de integração.
Passo 5
Multiplicando tudo por 2 e rearranjando,
ou seja
Essa é a família de trajetórias ortogonais.