Determine as trajetorias ortogonais as seguintes familias de curvas:
Cx2+y2=C.

Passo 1

Resumindo, temos a família de curvas
C x^2 + y^2 = C
onde C é o parâmetro. Queremos encontrar as curvas ortogonais, isto é, aquelas cuja inclinação em cada ponto é o negativo do inverso da inclinação da família dada. Vamos usar diferenciação implícita para achar y', depois trocar para a inclinação ortogonal e resolver a EDO resultante por separação de variáveis.

Passo 2

Diferenciando implicitamente
C x^2 + y^2 = C
em relação a x (com C constante), obtemos
2C x + 2y,y' = 0
Assim,
y' = -C xy
Além disso, da equação original isolamos
C = y^21 - x^2
Substituindo em y', vem
y' = -,x,y1 - x^2

Passo 3

As trajetórias ortogonais satisfazem
dydx = -1y' = 1 - x^2x,y
Reescrevendo, temos
dydx = 1x,y - xy,
ou ainda
y,dydx = 1x - x

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
y,dy = l(1x - xr),dx Longrightarrow integral y,dy = integrall(1x - xr),dx
Isso dá
y^22 = lnlvert xrvert - x^22 + K,
onde K é constante de integração.

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 e rearranjando,
y^2 = 2lnlvert xrvert - x^2 + C',
ou seja
x^2 + y^2 - 2lnlvert xrvert = constante
Essa é a família de trajetórias ortogonais.

Resposta

x^2 + y^2 - 2lnlvert xrvert = constante

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