1. (2,0) Sabendo que y_{1}(x)=e^{x} e y_{2}(x)=e^{2 x} são soluções da EDO
y^{(4)}-3 y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}-6 y=0
encontre a solução geral de (1).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y^{(4)}-3y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+9y^{\prime}-6y=0
e informa que \;y_{1}(x)=e^{x}\; e \;y_{2}(x)=e^{2x}\; são soluções conhecidas. A pergunta é: encontrar a solução geral de \;y^{(4)}-3y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+9y^{\prime}-6y=0.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método usado). Em equações lineares homogêneas de ordem \;n\; com coeficientes constantes costuma-se procurar soluções da forma \;y(x)=e^{rx}\;, onde \;r\; é um número (real ou complexo). Por que isso funciona? Porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}:
\frac{d^k}{dx^k}e^{rx}=r^k e^{rx}.
Substituindo uma função \;y=e^{rx}\; na equação diferencial, todos os termos ficam com fator comum e^{rx} (não nulo), que pode ser dividido, sobrando uma equação polinomial em \;r\; chamada equação característica. Resolver essa equação polinomial fornece os valores de \;r\; e, para cada raiz \;r_i\; distinta, \;e^{r_i x}\; é uma solução. Se alguma raiz tiver multiplicidade maior que 1, multiplicamos por potências de x para obter soluções independentes (por exemplo, para uma raiz dupla r temos e^{r x} e x e^{r x}).

Passo 3

Aplicando a ideia: suponha \;y=e^{rx}\;. Substituindo na EDO, usando \;y^{(k)}=r^k e^{rx}\;, obtemos a equação característica
r^{4}-3r^{3}-r^{2}+9r-6=0.

Passo 4

Como o enunciado já nos deu duas soluções \;e^{x}\; e \;e^{2x}\;, isso significa que \;r=1\; e \;r=2\; são raízes da equação característica. Vamos verificar rapidamente substituindo:
\text{Para }r=1:\quad 1-3-1+9-6=0.
\text{Para }r=2:\quad 16-24-4+18-6=0.
Ambos dão zero, confirmando que \;r=1\; e \;r=2\; são raízes.

Passo 5

Agora fatoramos o polinômio retirando os fatores correspondentes a essas raízes. O produto \;(r-1)(r-2)\; é
(r-1)(r-2)=r^{2}-3r+2.
Dividindo o polinômio característico por \;r^{2}-3r+2\; vamos obter o fator quadrático restante. Para fazer essa divisão de forma direta, procuramos um polinômio quadrático \;r^{2}+ar+b\; tal que
(r^{2}-3r+2)(r^{2}+ar+b)=r^{4}-3r^{3}-r^{2}+9r-6.
Multiplicando e agrupando coeficientes obtemos os coeficientes combinados:
(r^{2}-3r+2)(r^{2}+ar+b)=r^{4}+(a-3)r^{3}+(b-3a+2)r^{2}+(-3b+2a)r+2b.
Comparando termos com o polinômio dado, igualamos coeficientes:
a-3=-3 \Rightarrow a=0,
b-3a+2=-1 \Rightarrow b+2=-1 \Rightarrow b=-3.
Verificando os termos restantes: -3b+2a=-3(-3)+0=9 e 2b=2(-3)=-6, que coincidem com os coeficientes desejados. Logo a divisão dá
r^{4}-3r^{3}-r^{2}+9r-6=(r^{2}-3r+2)(r^{2}-3).

Passo 6

Resolva o fator quadrático restante \;r^{2}-3=0\;:
r^{2}-3=0 \Rightarrow r=\pm\sqrt{3}.
Assim as raízes da equação característica são \;r=1,\;r=2,\;r=\sqrt{3},\;r=-\sqrt{3}, todas reais e distintas.

Passo 7

Conclusão sobre as soluções fundamentais. Como todas as raízes são distintas, cada raiz \;r_i\; gera a solução \;e^{r_i x}\;, e essas soluções são linearmente independentes. Logo a solução geral da EDO é uma combinação linear das quatro exponenciais correspondentes.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{\sqrt{3}\,x}+C_{4}e^{-\sqrt{3}\,x}

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