-
Sabendo que
e
são soluções da EDO
encontre a solução geral de (1).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
e informa que
e
são soluções conhecidas. A pergunta é: encontrar a solução geral de
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método usado). Em equações lineares homogêneas de ordem
com coeficientes constantes costuma-se procurar soluções da forma
, onde
é um número (real ou complexo). Por que isso funciona? Porque derivadas de
são múltiplos de
:
Substituindo uma função
na equação diferencial, todos os termos ficam com fator comum
(não nulo), que pode ser dividido, sobrando uma equação polinomial em
chamada equação característica. Resolver essa equação polinomial fornece os valores de
e, para cada raiz
distinta,
é uma solução. Se alguma raiz tiver multiplicidade maior que
, multiplicamos por potências de
para obter soluções independentes (por exemplo, para uma raiz dupla
temos
e
).
Passo 3
Aplicando a ideia: suponha
. Substituindo na EDO, usando
, obtemos a equação característica
Passo 4
Como o enunciado já nos deu duas soluções
e
, isso significa que
e
são raízes da equação característica. Vamos verificar rapidamente substituindo:
Ambos dão zero, confirmando que
e
são raízes.
Passo 5
Agora fatoramos o polinômio retirando os fatores correspondentes a essas raízes. O produto
é
Dividindo o polinômio característico por
vamos obter o fator quadrático restante. Para fazer essa divisão de forma direta, procuramos um polinômio quadrático
tal que
Multiplicando e agrupando coeficientes obtemos os coeficientes combinados:
Comparando termos com o polinômio dado, igualamos coeficientes:
Verificando os termos restantes:
e
, que coincidem com os coeficientes desejados. Logo a divisão dá
Passo 6
Resolva o fator quadrático restante
:
Assim as raízes da equação característica são
, todas reais e distintas.
Passo 7
Conclusão sobre as soluções fundamentais. Como todas as raízes são distintas, cada raiz
gera a solução
, e essas soluções são linearmente independentes. Logo a solução geral da EDO é uma combinação linear das quatro exponenciais correspondentes.