Verifique se as EDO’s abaixo são ou não homogêneas; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
y^prime=x+3 y3 x+y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = x + 3y3x + y,
pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, encontrar a solução e classificá-la como explícita ou implícita. O conteúdo é EDO de primeira ordem homogênea, que se resolve com a troca de variável y = ux.

Passo 2

Verificamos a homogeneidade observando
f(x,y)=x+3y3x+y Longrightarrow f(lambda x,lambda y) =lambda x+3lambda y3lambda x+lambda y =x+3y3x+y =f(x,y),
logo a função é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo y=ux temos y' = u + x,dudx. Substituindo em
u + xdudx =x+3(ux)3x+ux =1+3u3+u,
obtém-se
xdudx =1+3u3+u-u =1 - u^23+u

Passo 4

Separamos variáveis:
3+u1-u^2,du =dxx
Decompondo
3+u1-u^2 =21-u+11+u,
integramos:
integral!l(21-u+11+ur)du =-2ln|1-u|+ln|1+u| =ln|x|+C

Passo 5

Voltando a u=y/x, temos
-2lnl|1-tfracyxr|+lnl|1+tfracyxr| =ln|x|+C Longrightarrow ln1+y/x(1-y/x)^2=ln|x|+C
Disso segue, escrevendo K=e^C,
1+y/x(1-y/x)^2=K,x Longrightarrow x+y(x-y)^2=K

Resposta

A EDO é homogênea e a solução geral fica dada implicitamente por
x+y(x-y)^2=C,
sendo uma solução implícita.

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