Verifique se as EDO’s abaixo são ou não separáveis; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é separável; se for, resolver e classificar a solução como explícita ou implícita. Vamos lembrar que uma EDO é separável quando podemos escrever
e então passar todos os termos em para o lado esquerdo e todos os termos em para o lado direito.
Passo 2
Reescrevemos a EDO em forma de separação de variáveis:
Logo, a equação é separável.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Cálculo do lado esquerdo: faça , então e
Passo 5
Cálculo do lado direito:
integral dxsen(x) = integral csc(x),dx = -lnl|csc(x) + cot(x)r| + C2
Passo 6
Igualando as integrais e reunindo constantes (C = C2 - C1), obtemos a forma implícita
14lnl|1 + 2y^2r| = -lnl|csc(x) + cot(x)r| + C
ou, exponenciando e simplificando,
1 + 2y^2 = Kl(csc(x) + cot(x)r)^-4,
com K = e^4C. Desta forma, podemos isolar y explicitamente:
y(x) = pm raizKl(csc(x) + cot(x)r)^-4 - 12
Resposta
A EDO é separável.
A solução geral em forma implícita é
1 + 2y^2 = Kl(csc(x) + cot(x)r)^-4,
e a forma explícita é
y(x) = pm raizKl(csc(x) + cot(x)r)^-4 - 12
Trata-se, portanto, de uma solução que pode ser escrita explicitamente.