Verifique se as EDO’s abaixo são ou não separáveis; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
y^prime=1+2 y^2y sen(x)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = 1 + 2y^2y,sen(x)
e pede para verificar se ela é separável; se for, resolver e classificar a solução como explícita ou implícita. Vamos lembrar que uma EDO é separável quando podemos escrever
dydx = f(y),g(x)
e então passar todos os termos em y para o lado esquerdo e todos os termos em x para o lado direito.

Passo 2

Reescrevemos a EDO em forma de separação de variáveis:
dydx = 1 + 2y^2y,sen(x) Longrightarrow y1 + 2y^2,dy = dxsen(x)
Logo, a equação é separável.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y1 + 2y^2,dy = integral dxsen(x)

Passo 4

Cálculo do lado esquerdo: faça u = 1 + 2y^2, então du = 4y,dy e
integral y1 + 2y^2,dy = 14integral duu = 14lnl|ur| + C1 = 14lnl|1 + 2y^2r| + C1

Passo 5

Cálculo do lado direito:
integral dxsen(x) = integral csc(x),dx = -lnl|csc(x) + cot(x)r| + C2

Passo 6

Igualando as integrais e reunindo constantes ( C = C2 - C1), obtemos a forma implícita
14lnl|1 + 2y^2r| = -lnl|csc(x) + cot(x)r| + C
ou, exponenciando e simplificando,
1 + 2y^2 = Kl(csc(x) + cot(x)r)^-4,
com K = e^4C. Desta forma, podemos isolar y explicitamente:
y(x) = pm raizKl(csc(x) + cot(x)r)^-4 - 12

Resposta

A EDO é separável.
A solução geral em forma implícita é
1 + 2y^2 = Kl(csc(x) + cot(x)r)^-4,
e a forma explícita é
y(x) = pm raizKl(csc(x) + cot(x)r)^-4 - 12
Trata-se, portanto, de uma solução que pode ser escrita explicitamente.

Exercícios relacionados