Verifique se as EDO’s abaixo são do tipo Bernoulli; em caso afirmativo, resolva a EDO.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é do tipo Bernoulli e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo envolvido é a identificação de uma EDO de Bernoulli e seu método padrão de solução por substituição.
Passo 2
A forma geral de Bernoulli é
Aqui temos
,
e
, logo de fato é uma EDO de Bernoulli com
.
Passo 3
Para linearizar, fazemos a substituição
Calculamos
ou seja
. Substituindo isso na EDO original:
Dividindo por
(assumindo
):
Multiplicando por
dá a EDO linear em
:
Passo 4
Essa é uma EDO linear de coeficientes variáveis. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
Integramos ambos os lados:
Logo
Passo 5
Voltando à variável
, lembramos que
. Assim
Resposta
A equação é de Bernoulli com
e a solução geral é
onde
é a constante de integração.