Verifique se as EDO’s abaixo são do tipo Bernoulli; em caso afirmativo, resolva a EDO.
a) y^prime+4x y=x^3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
y'+4x,y = x^3,y^2
é do tipo Bernoulli e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo envolvido é a identificação de uma EDO de Bernoulli e seu método padrão de solução por substituição.

Passo 2

A forma geral de Bernoulli é
y' + P(x),y = Q(x),y^n
Aqui temos P(x)=tfrac4x, Q(x)=x^3 e n=2, logo de fato é uma EDO de Bernoulli com n=2.

Passo 3

Para linearizar, fazemos a substituição
z = y^1-n = y^-1
Calculamos
z' = ddx(y^-1) = -,y'y^2,
ou seja y' = -,y^2,z'. Substituindo isso na EDO original:
-,y^2z' + 4x,y = x^3,y^2
Dividindo por y^2 (assumindo yneq0):
-,z' + 4x,y^1-2 = x^3 Longrightarrow -,z' + 4x,z = x^3
Multiplicando por -1 dá a EDO linear em z:
z' - 4x,z = -,x^3

Passo 4

Essa é uma EDO linear de coeficientes variáveis. O fator integrante é
mu(x) = e^integral -4x,dx = e^-4ln|x| = x^-4
Multiplicando a equação por x^-4:
x^-4z' - 4x,x^-4z = -,x^-1 Longrightarrow l(x^-4zr)' = -,x^-1
Integramos ambos os lados:
x^-4z = -integral x^-1,dx + C = -lnlvert xrvert + C
Logo
z = x^4l(-lnlvert xrvert + Cr) = -,x^4lnlvert xrvert + C,x^4

Passo 5

Voltando à variável y, lembramos que z=y^-1. Assim
y^-1 = x^4l(C - lnlvert xrvertr) Longrightarrow y = 1x^4,(C - lnlvert xrvert)

Resposta

A equação é de Bernoulli com n=2 e a solução geral é
boxedy(x)=1x^4,l(C-lnlvert xrvertr),
onde C é a constante de integração.

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