Calcule a integral de linha integralC raizx^2+y^2 d s onde C é o arco de círculo de raio 2 centrado na origem, que vai do ponto (2,0) ao ponto (0,2).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha de uma função escalar
f(x,y)=raizx^2+y^2
ao longo do arco C da circunferência de raio 2 centrada na origem, que vai do ponto (2,0) até (0,2). O conteúdo envolvido é integral de linha de função escalar. Para resolver, vamos parametrizar esse arco em termos do ângulo polar.

Passo 2

Parametrizamos o arco C por
x(theta)=2costheta, y(theta)=2sintheta,
com theta variando de 0 até pi/2, de modo que em theta=0 temos (2,0) e em theta=pi/2 temos (0,2).

Passo 3

Calculamos o elemento de comprimento ds. Temos
dxdtheta=-2sintheta, dydtheta=2costheta,
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ds=raizl(dxdthetar)^2+l(dydthetar)^2;dtheta =raiz4sin^2theta+4cos^2theta;dtheta =2,dtheta

Passo 4

Substituímos na integral de linha
integralCraizx^2+y^2;ds =integraltheta=0^pi/2raizl(2costhetar)^2+l(2sinthetar)^2;l(2,dthetar)
Como raiz4cos^2theta+4sin^2theta=2, isso vira
integral0^pi/22cdot 2;dtheta =integral0^pi/24;dtheta =4theta|0^pi/2 =4cdotpi2 =2pi

Resposta

2pi

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