Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
30. y=1+sen xcos x, (pi,-1)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y=1+sin xcos x
no ponto l(pi,-1r).
Para isso precisamos calcular a derivada y' (coeficiente angular) e depois usar a equação da reta tangente
y - y0 = y'(x0),(x - x0)

Passo 2

Calculemos a derivada por regra do quociente. Seja
u=1+sin x, v=cos x,
então
u'=cos x, v'=-sin x,
e
y'=u'v - u,v'v^2 =cos xcdotcos x - (1+sin x)(-,sin x)cos^2 x =cos^2 x + (1+sin x),sin xcos^2 x =underbracecos^2 x+sin^2 x1+sin xcos^2 x =1+sin xcos^2 x

Passo 3

Avalie em x=pi:
sinpi=0,cospi=-1 Longrightarrow y'(pi)=1+0(-1)^2=1
Também confirmamos
y(pi)=1+sinpicospi=1-1=-1

Passo 4

Use a fórmula da reta tangente em l(pi,-1r) com coeficiente angular 1:
y - (-1)=1,(x-pi) Longrightarrow y+1=x-pi Longrightarrow y=x-pi-1

Resposta

y = x - pi - 1

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