Verifique se as EDO’s dadas são exatas e resolva-as em seguida.
-2 y d y=(x-1)^{2} d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
-2\,y\,dy=(x-1)^{2}\,dx
e pede duas coisas: (1) verificar se a equação é exata; (2) resolver a equação (ou seja, encontrar a solução geral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita em forma diferencial relacionando dx e dy.
  • Não há condições iniciais fornecidas, logo precisamos encontrar a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma clássica M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. A partir de
-2\,y\,dy=(x-1)^{2}\,dx
passa-se tudo para o mesmo lado. Multiplicando por -1 para deixar o coeficiente de dx positivo,
(x-1)^{2}\,dx + 2\,y\,dy = 0.
Assim identificamos:
M(x,y)=(x-1)^{2},\qquad N(x,y)=2y.

Passo 3

Critério de exatidão: uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata num domínio simplesmente conexo se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x-1)^{2}=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y)=0.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=0, a equação é exata (em qualquer domínio onde M e N sejam definidas, o que aqui é todo o plano).
Breve explicação didática: exatidão significa que existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M e \partial\Phi/\partial y=N. A igualdade das derivadas mistas garante, por teoremas de cálculo, que tal \Phi existe localmente (e globalmente em domínios simples).

Passo 4

Construir a função potencial \Phi(x,y) usando \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}=M(x,y). Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int (x-1)^{2}\,dx = \frac{(x-1)^{3}}{3} + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (aparece porque a integração em x pode deixar uma “constante” que depende de y).
Explicação didática curta: quando integro em x, tudo que depende só de y aparece como constante de integração dependente de y, por isso o h(y).

Passo 5

Impor a segunda condição \dfrac{\partial\Phi}{\partial y}=N(x,y) para determinar h(y). Calculamos
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = \frac{d}{dy}\!\left(\frac{(x-1)^{3}}{3}\right) + h'(y) = 0 + h'(y) = h'(y).
Mas deve valer \dfrac{\partial\Phi}{\partial y}=N(x,y)=2y. Logo
h'(y)=2y.
Integrando em y,
h(y)=\int 2y\,dy = y^{2} + C_0,
onde C_0 é uma constante, que podemos absorver depois na constante geral da solução.

Passo 6

Reconstituindo \Phi obtemos
\Phi(x,y)=\frac{(x-1)^{3}}{3} + y^{2} + C_0.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é \Phi(x,y)=\text{constante}. Eliminando C_0 e chamando a constante geral de C, temos como forma mais simples:
\frac{(x-1)^{3}}{3} + y^{2} = C.
Se quiser, pode multiplicar por 3 para uma aparência alternativa:
(x-1)^{3} + 3y^{2} = C',
com C'=3C.
Verificação rápida (checada para dar mais segurança): derivando implicitamente \Phi(x,y)=C obtém-se (x-1)^{2}\,dx + 2y\,dy=0, que é exatamente a forma que partimos. Está consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-1)^{3}}{3} + y^{2} = C

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