Verifique se as EDO’s dadas são exatas e resolva-as em seguida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (1) verificar se a equação é exata; (2) resolver a equação (ou seja, encontrar a solução geral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está escrita em forma diferencial relacionando
e . - Não há condições iniciais fornecidas, logo precisamos encontrar a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma clássica
. A partir de
passa-se tudo para o mesmo lado. Multiplicando por
para deixar o coeficiente de
positivo,
Assim identificamos:
Passo 3
Critério de exatidão: uma forma diferencial
é exata num domínio simplesmente conexo se e somente se
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata (em qualquer domínio onde
e
sejam definidas, o que aqui é todo o plano).
Breve explicação didática: exatidão significa que existe uma função potencial
tal que
e
. A igualdade das derivadas mistas garante, por teoremas de cálculo, que tal
existe localmente (e globalmente em domínios simples).
Passo 4
Construir a função potencial
usando
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(aparece porque a integração em
pode deixar uma “constante” que depende de
).
Explicação didática curta: quando integro em
, tudo que depende só de
aparece como constante de integração dependente de
, por isso o
.
Passo 5
Impor a segunda condição
para determinar
. Calculamos
Mas deve valer
. Logo
Integrando em
,
onde
é uma constante, que podemos absorver depois na constante geral da solução.
Passo 6
Reconstituindo
obtemos
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
. Eliminando
e chamando a constante geral de
, temos como forma mais simples:
Se quiser, pode multiplicar por
para uma aparência alternativa:
com
.
Verificação rápida (checada para dar mais segurança): derivando implicitamente
obtém-se
, que é exatamente a forma que partimos. Está consistente.