Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{(-5)^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{(-5)^{n}}
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n^{n}}{(-5)^{n}}.
  • Não foi pedido para calcular soma (só a natureza da convergência).

Passo 2

Regra básica (necessária) para qualquer série: se a série \sum a_n converge então os termos a_n convergem para 0, isto é
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), a série diverge imediatamente. Vou usar essa observação como primeiro teste rápido.

Passo 3

Vamos manipular o termo geral para ver seu comportamento:
a_n=\frac{n^{n}}{(-5)^{n}}=\left(\frac{n}{-5}\right)^{n}=(-1)^{n}\left(\frac{n}{5}\right)^{n}.
A partir daqui o módulo do termo é
|a_n|=\left(\frac{n}{5}\right)^{n}.
Esse valor cresce muito rápido com n. Um argumento simples e direto: para n\ge 6 vale \dfrac{n}{5}\ge \dfrac{6}{5}>1, então para n\ge 6
|a_n|=\left(\frac{n}{5}\right)^{n}\ge\left(\frac{6}{5}\right)^{n}.
Como \left(\dfrac{6}{5}\right)^{n}\to\infty quando n\to\infty, segue que |a_n|\to\infty. Em particular
\lim_{n\to\infty} a_n \text{ não é }0.ãé
Pelo teste do termo geral, a série \sum a_n não pode convergir.

Passo 4

Complemento didático (teste da raiz): outra forma de ver é aplicar a regra da raiz n-ésima. Calcula-se
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5}=+\infty.
No teste da raiz, se esse limite é maior que 1 (aqui é +\infty), a série \sum |a_n| diverge, logo a série original também diverge. Esse resultado confirma o que vimos antes.

Passo 5

Sobre convergência absoluta e condicional:
  • A série é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge. Aqui |a_n|=(n/5)^n e os termos |a_n| não tendem a zero (tendem a +\infty), então \sum |a_n| diverge. Portanto não é absolutamente convergente.
  • A série é condicionalmente convergente se converge, mas não absolutamente. Como já concluímos que a série original diverge, ela também não pode ser condicionalmente convergente.

Resposta

A série diverge (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).

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