Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O termo geral é
. - Não foi pedido para calcular soma (só a natureza da convergência).
Passo 2
Regra básica (necessária) para qualquer série: se a série
converge então os termos
convergem para
, isto é
Se
(ou não existe), a série diverge imediatamente. Vou usar essa observação como primeiro teste rápido.
Passo 3
Vamos manipular o termo geral para ver seu comportamento:
A partir daqui o módulo do termo é
Esse valor cresce muito rápido com
. Um argumento simples e direto: para
vale
, então para
Como
quando
, segue que
. Em particular
Pelo teste do termo geral, a série
não pode convergir.
Passo 4
Complemento didático (teste da raiz): outra forma de ver é aplicar a regra da raiz
-ésima. Calcula-se
No teste da raiz, se esse limite é maior que
(aqui é
), a série
diverge, logo a série original também diverge. Esse resultado confirma o que vimos antes.
Passo 5
Sobre convergência absoluta e condicional:
- A série é absolutamente convergente se
converge. Aqui e os termos não tendem a zero (tendem a ), então diverge. Portanto não é absolutamente convergente. - A série é condicionalmente convergente se converge, mas não absolutamente. Como já concluímos que a série original diverge, ela também não pode ser condicionalmente convergente.
Resposta
A série diverge (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).