Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem é exata. Se for exata, também precisamos encontrar a solução dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar se uma equação é desse tipo. A equação que vamos analisar é:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO exata. Uma equação da forma $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $ é exata se existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de $ \Phi $ em relação a $ x $ e $ y $ devem coincidir com $ M $ e $ N $, respectivamente.
Passo 3
Para verificar se a EDO dada é exata, precisamos comparar as derivadas cruzadas. Ou seja, vamos calcular:
Se essas duas derivadas forem iguais, a equação é exata.
Passo 4
Vamos identificar $ M $ e $ N $ na nossa equação:
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $.
Passo 5
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Aqui, derivamos $ e^{x} \sin(y) $ em relação a $ y $, que dá $ e^{x} \cos(y) $, e $ -2 y \sin(x) $ em relação a $ y $ dá $ -2 \sin(x) $.
Passo 6
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Derivamos $ e^{x} \cos(y) $ em relação a $ x $, que dá $ e^{x} \cos(y) $, e $ 2 \cos(x) $ em relação a $ x $ dá $ -2 \sin(x) $.
Passo 7
Comparando as duas derivadas:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata.
Passo 8
Agora que sabemos que a EDO é exata, vamos encontrar a solução. Precisamos encontrar uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ M $ em relação a $ x $ para encontrar $ \Phi(x, y) $.
Passo 9
Integrando $ M $ em relação a $ x $:
Isso dá:
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece porque a constante de integração pode depender de $ y $.
Passo 10
Agora, vamos derivar $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N $ para encontrar $ h(y) $:
Isso implica que:
Passo 11
Integrando $ h’(y) = 0 $, obtemos:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.
Passo 12
Então, a função $ \Phi(x, y) $ é:
Para resolver a equação diferencial, igualamos $ \Phi(x, y) = constante $:
Resposta
A EDO dada é exata e sua solução geral é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.