Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
[e^x sen(y(x))-2 y(x) sen(x)] d x+[e^x cos (y(x))+2 cox(x)] d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem é exata. Se for exata, também precisamos encontrar a solução dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar se uma equação é desse tipo. A equação que vamos analisar é:
[e^x sin(y) - 2 y sin(x)] dx + [e^x cos(y) + 2 cos(x)] dy = 0

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO exata. Uma equação da forma $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $ é exata se existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Isso significa que as derivadas parciais de $ \Phi $ em relação a $ x $ e $ y $ devem coincidir com $ M $ e $ N $, respectivamente.

Passo 3

Para verificar se a EDO dada é exata, precisamos comparar as derivadas cruzadas. Ou seja, vamos calcular:
partial Mpartial y e partial Npartial x
Se essas duas derivadas forem iguais, a equação é exata.

Passo 4

Vamos identificar $ M $ e $ N $ na nossa equação:
M
N
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $.

Passo 5

Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y
Aqui, derivamos $ e^{x} \sin(y) $ em relação a $ y $, que dá $ e^{x} \cos(y) $, e $ -2 y \sin(x) $ em relação a $ y $ dá $ -2 \sin(x) $.

Passo 6

Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Npartial x
Derivamos $ e^{x} \cos(y) $ em relação a $ x $, que dá $ e^{x} \cos(y) $, e $ 2 \cos(x) $ em relação a $ x $ dá $ -2 \sin(x) $.

Passo 7

Comparando as duas derivadas:
partial Mpartial y = e^x cos(y) - 2 sin(x)
partial Npartial x = e^x cos(y) - 2 sin(x)
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata.

Passo 8

Agora que sabemos que a EDO é exata, vamos encontrar a solução. Precisamos encontrar uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Phi(x, y)
Vamos integrar $ M $ em relação a $ x $ para encontrar $ \Phi(x, y) $.

Passo 9

Integrando $ M $ em relação a $ x $:
M
Isso dá:
x
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece porque a constante de integração pode depender de $ y $.

Passo 10

Agora, vamos derivar $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N $ para encontrar $ h(y) $:
Phi(x, y)
Isso implica que:
y

Passo 11

Integrando $ h’(y) = 0 $, obtemos:
h'(y) = 0
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

Passo 12

Então, a função $ \Phi(x, y) $ é:
Phi(x, y)
Para resolver a equação diferencial, igualamos $ \Phi(x, y) = constante $:
Phi(x, y) = e^x sin(y) + 2 y cos(x) + C

Resposta

A EDO dada é exata e sua solução geral é:
e^x sin(y) + 2 y cos(x) = C
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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