Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
(9 x^2+y(x)-1) d x-(4 y(x)-x) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a equação diferencial de primeira ordem dada é exata. Se for, vamos encontrar a solução dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar e resolver essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma EDO na forma $ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 $ é exata se a derivada de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja, se $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $.

Passo 3

Agora, vamos identificar $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ na equação dada:
M(x, y)
Então, temos:
N(x, y)
(9x^2 + y - 1)dx - (4y - x)dy = 0

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y
Depois, $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partialpartial y(9x^2 + y - 1) = 1

Passo 5

Comparando as derivadas, temos:
partial Mpartial y = 1
partial Npartial x = 1
Como as duas derivadas são iguais, a equação diferencial é exata!

Passo 6

Agora que sabemos que a EDO é exata, vamos encontrar a solução geral. Para isso, buscamos uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Phi(x, y)
partial Phipartial x = M(x, y)
Vamos integrar $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
partial Phipartial y = N(x, y)
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.

Passo 7

Agora, derivamos $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
Phi(x, y)
Simplificando, temos:
y
N(x, y)

Passo 8

Integramos $ h’(y) $ em relação a $ y $:
h'(y)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 9

Substituímos $ h(y) $ na expressão de $ \Phi(x, y) $:
h(y)
A solução geral da EDO é dada por $ \Phi(x, y) = C $, então:
Phi(x, y)

Resposta

A solução geral da EDO exata é $ 3x^{3} + xy - x - 2y^{2} = C $, onde $ C $ é uma constante.

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