Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a equação diferencial de primeira ordem dada é exata. Se for, vamos encontrar a solução dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar e resolver essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma EDO na forma $ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 $ é exata se a derivada de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja, se $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $.
Passo 3
Agora, vamos identificar $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ na equação dada:
Então, temos:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Depois, $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Passo 5
Comparando as derivadas, temos:
Como as duas derivadas são iguais, a equação diferencial é exata!
Passo 6
Agora que sabemos que a EDO é exata, vamos encontrar a solução geral. Para isso, buscamos uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Passo 7
Agora, derivamos $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
Simplificando, temos:
Passo 8
Integramos $ h’(y) $ em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 9
Substituímos $ h(y) $ na expressão de $ \Phi(x, y) $:
A solução geral da EDO é dada por $ \Phi(x, y) = C $, então:
Resposta
A solução geral da EDO exata é $ 3x^{3} + xy - x - 2y^{2} = C $, onde $ C $ é uma constante.