Verifique que as EDOs a seguir são de variáveis separáveis e resolva-as.
d yd x=1+y^21+x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
dydx = 1 + y^21 + x^2
que é de variáveis separáveis. Para resolver, vamos isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro, e então integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo ambos os lados por 1+y^2 e multiplicando por dx:
11+y^2,dy = 11+x^2,dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral 11+y^2,dy = integral 11+x^2,dx
Como sabemos, integral 11+u^2,du = arctan(u). Logo,

Passo 4

arctan(y) = arctan(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y aplicando a tangente em ambos os lados:
y = tanl(arctan(x) + Cr)
Podemos, se quisermos, redefinir a constante como K = tan(C), mas a forma acima já é a solução geral.

Resposta

y = tanl(arctan(x) + Cr)

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