Verifique que as EDOs a seguir são de variáveis separáveis e resolva-as.
y^prime=y ln x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a EDO
y' = y ln x
é de variáveis separáveis e, em seguida, resolvê-la. O conteúdo é resolução de equações diferenciais ordinárias separáveis; vamos precisar reescrever a equação de forma a isolar as variáveis y e x em lados diferentes.

Passo 2

Assumindo x>0 (para ln x bem definida) e yneq0, escrevemos
dydx = y ln x
Dividindo ambos os lados por y e multiplicando por dx, obtemos
1y,dy = ln x,dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral 1y,dy = integral ln x,dx
O lado esquerdo dá ln|y|. No lado direito usamos integração por partes com u=ln x e dv=dx, obtendo
integral ln x,dx = xln x - x
Logo
ln|y| = xln x - x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponentiando ambos os lados, vem
|y| = e^xln x - x + C = e^C,e^xln x - x = C1,x^x e^-x,
com C1=e^C>0. Admitindo CinR, a solução geral fica
y = C,x^x e^-x,
onde C é constante real.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C,x^x e^-x,
com CinR.

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