1. sumk=2^infty k sen((2 k+1) pi2)raiz1+e^raizk

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=2^infty k,sen!l(tfrac(2k+1)pi2r)raiz1+e^raizk
Este é um problema de séries numéricas; vamos precisar usar identidade trigonométrica para simplificar o termo em k, depois analisar convergência (alternada e absoluta).

Passo 2

Primeiro, note que para todo inteiro k vale
sen!l(tfrac(2k+1)pi2r)=(-1)^k
Isso decorre de sen(pi/2)=1, sen(3pi/2)=-1 e do período da função.

Passo 3

Substituindo na série, obtemos
sumk=2^infty k,(-1)^kraiz1+e^raizk =sumk=2^infty(-1)^kak com ak=kraiz1+e^raizk
É uma série alternada de termos ak>0.

Passo 4

Teste de Leibniz (alternada):
  1. limktoinftyak=0, pois o denominador cresce exponencialmente em raizk.
  2. Para k grande, ak+1<ak, ou seja, os termos são eventualmente decrescentes.
    Logo a série converge (condicionalmente) pelo Critério de Leibniz.

Passo 5

Agora, teste de convergência absoluta. Basta ver se
sumk=2^inftyak =sumk=2^inftykraiz1+e^raizk
converge. Note que para k>=2 temos
raiz1+e^raizk>= e^raizk2 Longrightarrow ak<= k,e^-raizk2
Aplicando o teste da integral em f(x)=x,e^-raizx2, x>=2:
integral2^inftyx,e^-raizx2,dx, t=raizxRightarrow x=t^2,;dx=2t,dt,
integralraiz2^infty2,t^3,e^-t2,dt<infty
Como essa integral é finita, sum k,e^-raizk2 converge, e portanto
sum ak converge também.

Passo 6

Concluímos que a série original converge absolutamente (e, portanto, converge).

Resposta

A série converge absolutamente.

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