Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Este é um problema de séries numéricas; vamos precisar usar identidade trigonométrica para simplificar o termo em
, depois analisar convergência (alternada e absoluta).
Passo 2
Primeiro, note que para todo inteiro
vale
Isso decorre de
,
e do período da função.
Passo 3
Substituindo na série, obtemos
É uma série alternada de termos
.
Passo 4
Teste de Leibniz (alternada):
-
, pois o denominador cresce exponencialmente em . - Para
grande, , ou seja, os termos são eventualmente decrescentes.
Logo a série converge (condicionalmente) pelo Critério de Leibniz.
Passo 5
Agora, teste de convergência absoluta. Basta ver se
converge. Note que para
temos
Aplicando o teste da integral em
,
:
Como essa integral é finita,
converge, e portanto
converge também.
Passo 6
Concluímos que a série original converge absolutamente (e, portanto, converge).
Resposta
A série converge absolutamente.