Questão 2 (2 pontos): Considere a função definida por partes:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função f. Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x,y)= { x^2 y^3/(2 x^2 + y^2) se (x,y)≠(0,0), 0 se (x,y)=(0,0). Precisamos determinar o conjunto de pontos onde f é contínua. O conteúdo envolve continuidade e limites de funções de duas variáveis; vamos usar propriedades de funções racionais e coordenadas polares.
Passo 2
Para qualquer ponto (x₀,y₀)≠(0,0), o denominador 2x₀²+y₀² é estritamente positivo. Logo f é a razão de dois polinômios sem singularidade nestes pontos, o que implica que f é contínua em todo (x,y) com (x,y)≠(0,0).
Passo 3
Em (0,0), avaliamos o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0). Aplicando as coordenadas polares x=r cosθ e y=r sinθ, obtemos:
Como 2\cos2θ+\sin2θ=1+\cos^2θ\ge1 e |\cos2θ\sin3θ|\le1, segue que |f(r,θ)|\le r^3. Portanto lim_{r→0}f(r,θ)=0. Esse limite independe de θ, logo lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0), mostrando que f é contínua em (0,0).