Questão 2 (2 pontos): Considere a função definida por partes:
f(x, y)=ll x^2 y^32 x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função f. Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x,y)= { x^2 y^3/(2 x^2 + y^2) se (x,y)≠(0,0), 0 se (x,y)=(0,0). Precisamos determinar o conjunto de pontos onde f é contínua. O conteúdo envolve continuidade e limites de funções de duas variáveis; vamos usar propriedades de funções racionais e coordenadas polares.

Passo 2

Para qualquer ponto (x₀,y₀)≠(0,0), o denominador 2x₀²+y₀² é estritamente positivo. Logo f é a razão de dois polinômios sem singularidade nestes pontos, o que implica que f é contínua em todo (x,y) com (x,y)≠(0,0).

Passo 3

Em (0,0), avaliamos o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0). Aplicando as coordenadas polares x=r cosθ e y=r sinθ, obtemos:
f(r,θ)=r^5cos^2θsin^3θr^2l(2cos^2θ+sin^2θr) = r^3cos^2θsin^3θ2cos^2θ+sin^2θ
Como 2\cos2θ+\sin2θ=1+\cos^2θ\ge1 e |\cos2θ\sin3θ|\le1, segue que |f(r,θ)|\le r^3. Portanto lim_{r→0}f(r,θ)=0. Esse limite independe de θ, logo lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0), mostrando que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo o R^2.

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