Verifique que as EDOs a seguir são de variáveis separáveis e resolva-as.
d yd x=x-e^-xy+e^y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a EDO
dydx=x-e^-xy+e^y
é de variáveis separáveis e, em seguida, resolvê-la. O conteúdo envolve reconhecer a separação de variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Separe as variáveis x e y multiplicando ambos os lados por (y+e^y),dx:
(y+e^y),dy ;=;(x-e^-x),dx

Passo 3

Integre os dois lados. Do lado de y:
integral (y+e^y),dy =integral y,dy+integral e^y,dy =y^22+e^y

Passo 4

Do lado de x:
integral (x-e^-x),dx =integral x,dx-integral e^-x,dx =x^22+e^-x

Passo 5

Igualando as integrais e incluindo a constante de integração C, temos
y^22+e^y=x^22+e^-x+C
Podemos rearranjar para uma forma mais limpa:
12(y^2-x^2)+e^y-e^-x=C

Resposta

y^22+e^y=x^22+e^-x+C,
ou equivalente implicitamente
12(y^2-x^2)+e^y-e^-x=C

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