Verifique se a equação dada é exata e em caso afirmativo, resolva-a.
\left(y^{3}-y^{2} \sin x-x\right) d x+\left(3 x y^{2}+2 y \cos x\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(y^{3}-y^{2}\sin x - x\bigr)\,dx \;+\;\bigl(3xy^{2}+2y\cos x\bigr)\,dy=0.
Isto é do tipo
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com M(x,y)=y^{3}-y^{2}\sin x - x e N(x,y)=3xy^{2}+2y\cos x. Vamos primeiro verificar se ela é exata.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}-y^{2}\sin x - x\bigr) =3y^{2}-2y\sin x,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy^{2}+2y\cos x\bigr) =3y^{2}-2y\sin x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) =\int\bigl(y^{3}-y^{2}\sin x - x\bigr)\,dx =xy^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =3xy^{2}+2y\cos x + h'(y) \stackrel{!}{=}N(x,y)=3xy^{2}+2y\cos x.
Logo h'(y)=0, isto é, h(y) é constante.

Resposta

A solução implícita geral fica
\Psi(x,y)=xy^{3} + y^{2}\cos x - \frac{x^{2}}{2}=C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados